初中数学【8年级下】16.1 第2课时 二次根式的性质

16.1二根次式第十六章二次根式导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学下（RJ）教学课件第2课时二次根式的性质学习目标1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.（重点）2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）导入新课情景引入问题1下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？14算术平方根之门平方之门0-4-1a2()aaa≥011214我们都是非负数哟问题2若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？算术平方根之门平方之门140-4-111641116142a2aaa为任意数我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.思考你发现了什么？正方形的边长为，用边长表示正方形的面积为，又∵面积为a，即.（a≥0）的性质一2()a讲授新课活动1如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？a2aa2a这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？活动2为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？...算术平方根平方运算024...004213a(a≥0)a2)(a02=0...1321133观察两者有什么关系？222=42222________1.322_____;24_______;20_____;41320根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于2的非负数.因此.同理，分别是0,4，的算术平方根，即得上面的等式.2222210,4,313归纳总结的性质：2()(0)aa一般地，＝a(a≥0).2()a即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.a典例精析例1计算：2(1)(1.5);2(2)(25)；解：2(1)(1.5)1.5.222(2)(25)2(5)4520.(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？积的乘方：（ab）2=a2b2例2在实数范围内分解因式：42(2)44.yy解：222422222(2)442222.yyyyyy2(1)3;x2(1)333.xxx本题逆用了在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.归纳2()0aaa≥练一练计算：22(1)(5)(2)(22).；解:2(1)(5)5.222(2)(22)=2(2)=42=8....平方运算算术平方根20.10...449a(a≥0)2a2a2...23观察两者有什么关系？0.010.10230的性质二2a填一填：＝a(a≥0).2a...平方运算算术平方根-2-0.1...4492a2a2...23观察两者有什么关系？0.010.123a(a＜0)思考：当a＜0时，=2a？-a归纳总结a(a≥0)2aa-a(a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.的性质：2(0)aa例3化简：(1)16;2(2)(5)；解：2(1)1644.22(2)(5)55.2(3)10;2(4)(3.14).π22111(3)10=10=10=10.2(4)(3.14)=3.14=3.14.πππ，而3.14＜π，要注意a的正负性.注意2aa计算：22(1)(-2)(2)(-1.2).；练一练解:221(-2)=2=2().222(-1.2)=1.2=1.2().辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．（）（）（）（）××√√2222(1)22(2)22(3)22(4)22议一议：如何区别与？2a2()a2()a2a从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根例4实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:222.abab解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.ab【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.2244aabbab解：根据数轴可知b＜a＜0，∴a+2b＜0，a-b＞0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．2244aabbab利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.注意例5已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：222.abcbcacba解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+b+c＞0两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把或连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.概念学习数表示数的字母想一想到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？代数式整式分式二次根式代数式的定义三（1）一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是vkm/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；例6解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是km/h，逆水行驶的速度是km/h．(2.5)v(2.5)v（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以所以它的长为,15Sx5.15S列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．归纳总结1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7B.3＞2C.D．2x2223xyB练一练2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.Sπ方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“＞”或“＜”等.当堂练习1.化简得（）A.±4B.±2C.4D.-416C2.当1x3时，的值为（）A.3B.-3C.1D.-12(3)3xxD3.下列式子是代数式的有()①a2+b2;②;③13;④x=2;⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0;⑦10x+5y=15;⑧ab.acbA.3个B.4个C.5个D.6个C4.化简：（1）＝;（2）＝;（3）;（4）.2728137492(4)81-1012a5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是.22(1)aa16.利用a＝（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1)9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)；(6)0.2()a212(9)2(5)2522142122(0)7.(1)已知a为实数，求代数式的值.2242aaa解：由题意得a+2≥0，-4-2a≥0，∴a=-2，∴.2224222aaa(2)已知a为实数，求代数式的值.249aaa解：由题意得-a2≥0，又∵a2≥0，∴a2=0，∴a=0，∴24949231.aaa能力提升：课堂小结二次根式性质2()(0)aaa＝a(a≥0).2a2a拓展性质|a|（a为全体实数）