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A分点训练•打好基础B综合运用•提升能力录目页C思维拓展•冲刺满分知识点一正方形的性质1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是(C)A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等2．(2020·天津中考)如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是(D)A．(6，3)B．(3，6)C．(0，6)D．(6，6)3．如图，正方形ABCD的一条对角线AC的长为6，则该正方形的面积是(C)A．9B．36C．18D．34．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE，CE，则∠BEC的度数是.30°【变式题】删掉限制条件“外侧”，需分类讨论以正方形ABCD的边AD为边作等边△ADE，连接BE，CE，则∠BEC的度数是.30°或150°5．(2020·自贡中考)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证：AE＝BF.证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠BCF＝90°.∵CE＝DF，∴BE＝CF.在△AEB与△BFC中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，BE＝CF，∴△AEB≌△BFC(SAS)．∴AE＝BF.知识点二正方形的判定6．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(D)A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AD＝BCD．BC＝CD7．如图，用一张矩形纸片ABCD折出一个正方形，只需把一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则展开铺平后所得的四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是．邻边相等的矩形是正方形(答案不唯一)8．(2020·前郭县期末)小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图①所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图②所示的正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图①中对角线AC的长为cm.2029．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC.求证：四边形OCED是正方形．证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD.∴四边形OCED是正方形．10．(2020·卫辉市期末)从下列四个条件：①∠ABC＝90°；②AB＝BC；③AC＝BD；④AC⊥BD中选择两个作为补充条件，使平行四边形ABCD成为正方形，下列四种情况，你认为错误的是(B)A．①②B．①③C．②③D．③④11．如图，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB′E处，B′E与AC交于点F.若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为(B)A．10°B．12°C．14°D．15°12．(2020·枣庄中考)如图，点E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是.8513．如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，点K在BC边上，且BK＝CE，连接AK，KF，FH，HA.求证：四边形AKFH为正方形．证明：∵四边形CEFG为正方形，∴CE＝EF＝GC＝FG，∠E＝∠FGC＝90°.∴∠HGF＝90°.∵DH＝CE，BK＝CE，∴DH＝BK＝GF＝EF，DH＋DG＝CG＋DG，BK＋KC＝KC＋CE，即HG＝CD，BC＝KE.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝KE＝CD＝GH，∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°.∴∠ADH＝90°.∴∠ABK＝∠ADH＝∠E＝∠HGF.∴△ABK≌△ADH≌△KEF≌△HGF.∴AK＝AH＝KF＝HF，∠KAB＝∠HAD.∴四边形AKFH是菱形，∠KAB＋∠KAD＝∠KAD＋∠HAD.∴∠HAK＝∠DAB＝90°.∴四边形AKFH是正方形．14．(2020·顺德区模拟)如图，点P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别为垂足．(1)求证：AP＝EF；(1)证明：如图，连接PC.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，∠ECF＝90°.∵PE⊥CD，PF⊥BC，∴四边形PFCE是矩形．∴EF＝PC.在△ABP和△CBP中，AB＝CB，∠ABP＝∠CBP，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴AP＝CP.∵EF＝CP，∴AP＝EF.(2)若∠BAP＝60°，PD＝2，求EF的长．(2)解：∵由(1)知△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP＝60°.∴∠PCE＝30°.∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠PDE＝45°.∵PE⊥CD，∴DE＝PE由PD＝2，易得PE＝1，∴PC＝2PE＝2.∴EF＝2.15．在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝CD，点F为DE边上一点，连接AF，作FG⊥AF交直线DC于点G.(1)如图①，连接AG，若DF＝EF，判断△AFG的形状，并证明你的结论；解：(1)△AFG是等腰直角三角形．证明如下：如图①，连接CF.在Rt△CDE中，CE＝CD，DF＝EF，∴CF＝DF＝EF，∠ECF＝∠CDE＝45°.∴∠ADF＝∠ADC＋∠CDF＝135°，∠FCG＝∠GCE＋∠ECF＝135°.∴∠ADF＝∠GCF.∵FG⊥AF，∴∠AFG＝90°.∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠DAF＝∠CGF.在△ADF和△GCF中，∠DAF＝∠CGF，∠ADF＝∠GCF，DF＝CF，∴△ADF≌△GCF(AAS)．∴AF＝GF.∵∠AFG＝90°，∴△AFG是等腰直角三角形．(2)如图②，若DF≠EF，试探究线段AD，DF，DG三者之间的数量关系，并证明你的结论．(2)DG＝AD＋2DF.证明如下：如图②，过点F作FH⊥DE交DC于点H.由(1)知∠CDE＝45°，∴DH＝2DF，DF＝HF，∠DHF＝45°，同(1)的方法得出∠ADF＝∠GHF与∠DAF＝∠HGF.在△ADF和△GHF中，∠DAF＝∠HGF，∠ADF＝∠GHF，DF＝HF，∴△ADF≌△GHF(AAS)．∴AD＝HG.∴DG＝DH＋HG＝2DF＋AD.