初中数学【8年级下】18.中点问题

初中数学知识点精讲课程中点问题解题步骤归纳构造出中位线或斜边上的中线根据中位线的性质或直角三角形斜边上中线的性质连接中点或取中点得出平行线和线段间的关系得出结论解题步骤归纳中点四边形中位线性质连接四边形一条对角线讨论：3、对角线互相垂直且相等时的情况.1、当对角线相等时；2、对角线互相垂直时的情况;中点四边形是平行四边形典例精讲类型一：连接法构造三角形中位线已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形。典例精讲证明：连接BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴HE∥DB，，，FG∥DB，∴FG∥HE，GF=HE，∴四边形EFGH是平行四边形．12HEBD12GFDB典例精讲类型二：取中点构造三角形如图，AD是△ABC中BC边上的中线，E为AD的中点，延长BE交AC于点F，求证：1.4EFBF典例精讲证明：过D作DQ∥BF交AC于Q，∵E为AD中点，D为BC中点，∴AF=FQ，CQ=FQ，∴，∴AD＝12EFDQ14EFBFQ典例精讲类型三：构造斜边上的中线如图，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD,BD⊥DE于D，求证：。12CDBE典例精讲证明：如图，取BE的中点F，连接DF，∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°，∴，∴∠BDF＝∠CBD∴∠DFC＝∠CBD＋∠BDF＝2∠CBD∵∠ABD=∠CBD，∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝2∠CBD，∴∠DFC＝∠ABC，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠DFC＝∠C，∴F12DFEFBFBE12CDDFBE典例精讲类型四：中点四边形如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，①求证：四边形EFGH是平行四边形。②探索下列问题，并选择一个进行证明。a．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是矩形。b．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是菱形。c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是正方形。典例精讲详解：①连接AC，BD，∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理：GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形。②a．由①得：四边形MONH是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，∴∠EHG=90°，∴四边形EFGH是矩形。b．当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．∵HG=AC，EH=BD，∴EH=GH，∴四边形EFGH是菱形；c．由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形。故答案为：a．AC⊥BD，b．AC=BD，c．AC⊥BD且AC=BD。NOMGFEDCBAH课堂小结连接法或取中点法构造三角形中位线构造直角三角形斜边上的中线课堂小结判断中点四边形的形状三角形中位线的性质和特殊四边形的判定