24.4 第2课时 圆锥的侧面积和全面积

第2课时圆锥的侧面积和全面积一、课前预习(5分钟训练)1.圆锥的底面积为25π，母线长为13cm，这个圆锥的底面圆的半径为________cm，高为________cm，侧面积为________cm2.2.圆锥的轴截面是一个边长为10cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，锥角为_________，高为________cm.3.已知Rt△ABC的两直角边AC=5cm，BC=12cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为_________cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_________cm，面积为_________cm2.4.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.图24-4-2-1图24-4-2-2二、课中强化(10分钟训练)1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为()A.6m2B.6πm2C.12m2D.12πm22.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为()A.aB.33aC.3aD.23a3.用一张半径为9cm、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________cm.4.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是______(结果保留根式).5.一个圆锥的高为33cm，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积.三、课后巩固(30分钟训练)1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为_________cm2(结果保留π).2.如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________m.(结果不取近似数)图24-4-2-3图24-4-2-43.若圆锥的底面直径为6cm，母线长为5cm，则它的侧面积为___________.(结果保留π)4.在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1∶S2等于()A.2∶3B.3∶4C.4∶9D.5∶125.如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).6.制作一个底面直径为30cm、高为40cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为()A.1425πcm2B.1650πcm2C.2100πcm2D.2625πcm27.在半径为27m的广场中央，点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1m；2=1.414，3=1.732，5=2.236，以上数据供参考)参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.圆锥的底面积为25π，母线长为13cm，这个圆锥的底面圆的半径为________cm，高为________cm，侧面积为________cm2.思路解析：圆的面积为S=πr2，所以r=25=5(cm)；圆锥的高为22513=12(cm)；侧面积为21×10π·13=65π(cm2).答案：51265π2.圆锥的轴截面是一个边长为10cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，锥角为_________，高为________cm.思路解析：S侧面积=21×10π×10=50π(cm2)；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高.答案：50π60°533.已知Rt△ABC的两直角边AC=5cm，BC=12cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为__________cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为__________cm，面积为___________cm2.思路解析：以BC为轴旋转所得圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，母线长为13cm.利用公式计算.答案：65π10π65π4.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.图24-4-2-1思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积.答案：16π二、课中强化(10分钟训练)1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为()A.6m2B.6πm2C.12m2D.12πm2思路解析：侧面积=21底面直径·π·母线长=21×4×π×3=6π(m2).答案：B2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为()A.aB.33aC.3aD.23a思路解析：展开图的弧长是aπ，故底面半径是2a，这时母线长、底面半径和高构成直角三角形.答案：D3.用一张半径为9cm、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________cm.思路解析：扇形的弧长为1809120=6π(cm)，所以圆锥底面圆的半径为26=3(cm).答案：34.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是_________(结果保留根式).图24-4-2-2思路解析：如图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是818022=90°，连结AB，则△AOB是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以AB=2288=82.答案：825.一个圆锥的高为33cm，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积.思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长.锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积.解：如图，AO为圆锥的高，经过AO的截面是等腰△ABC，则AB为圆锥母线l，BO为底面半径r.(1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr=πl，则rl=2.(2)因rl=2，则有AB=2OB，∠BAO=30°，所以∠BAC=60°，即锥角为60°.(3)因圆锥的母线l，高h和底面半径r构成直角三角形，所以l2=h2＋r2；又l=2r，h=33cm，则r=3cm，l=6cm.所以S表=S侧＋S底=πrl＋πr2=3·6π＋32π=27π(cm2).三、课后巩固(30分钟训练)1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为_________cm2(结果保留π).思路解析：S圆锥侧=21×2×π×21×4×4=8π.答案：8π2.如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________m.(结果不取近似数)图24-4-2-3思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的PB(如图).则扇形的圆心角为66180=180°,因为P在AC的中点上，所以∠PAB=90°.在Rt△PAB中，PA=3，AB=6，则PB=2236=35.答案：353.若圆锥的底面直径为6cm，母线长为5cm，则它的侧面积为___________.(结果保留π)思路解析：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可.设圆锥底面半径为r，母线为l，则r=3cm，l=5cm，∴S侧=πr·l=π×3×5=15π(cm2).答案：15πcm24.在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1∶S2等于()A.2∶3B.3∶4C.4∶9D.5∶12思路解析：根据题意分别计算出S1和S2即得答案.在求S1和S2时，应分清圆锥侧面展开图(扇形)的半径是斜边BC，弧长是以AB(或AC)为半径的圆的周长.∵∠A=90°，AC=8，AB=6，∴BC=22ABAC=2268=10.当以AC为轴时，AB为底面半径，S1=S侧＋S底=πAB·BC＋πAB2=π×6×10＋π×36=96π.当以AB为轴时，AC为底面半径，S2=S侧＋S底=80π＋π×82=144π.∴S1∶S2=96π∶144π=2∶3，故选A.答案:A5.如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).图24-4-2-4思路解析：由题意知：S侧面积=21×30π×20=300π(cm2).答案：300π6.制作一个底面直径为30cm、高为40cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为()A.1425πcm2B.1650πcm2C.2100πcm2D.2625πcm2思路解析:由题意知S铁皮=底面积+侧面积=π×152+40×2π×15=15×95π=1425π.答案:A7.在半径为27m的广场中央，点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1m；2=1.414，3=1.732，5=2.236，以上数据供参考)图24-4-2-5思路分析：利用勾股定理和30°的角所对的直角边等于斜边的一半解题.解：在△SAB中，SA=SB，∠ASB=120°.∵SO⊥AB，∴O为AB的中点，且∠ASO=∠BSO=60°，∠SAO=30°.在Rt△ASO中，OA=27m，设SO=x，则AS=2x，∴272+x2=(2x)2.∴x=93≈15.6(m).答：光源离地面的垂直高度SO为15.6m.