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有关切线的辅助线作法一切线的性质(教材P101习题24.2第5题)如图1，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.证明：连接OP.∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB.在大圆中由垂径定理得AP＝BP.图1图2【思想方法】圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法．如图2，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为(C)A．3cmB．4cmC．6cmD．8cm如图3，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE.(1)求证：AE平分∠CAB；(2)探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE＝EC时∠C的值．图3变形2答图解：(1)证明：如图，连接OE，∵BC是⊙O的切线，且切点为E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.又∵△ABC是直角三角形，∴∠B＝90°，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥AB，∴∠BAE＝∠OEA.∵OA＝OE，∴∠1＝∠OEA，∴∠BAE＝∠1，∴AE平分∠CAB.(2)∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC＋∠C＝90°.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC＝2∠1，∴2∠1＋∠C＝90°，即∠1＝12(90°－∠C)．当AE＝EC时，∠1＝∠C，则2∠C＋∠C＝90°，∴∠C＝30°.图4如图4，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过点T作AD的延长线于点C.(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O半径为2，CT＝3，求AD的长．解：(1)证明：连接OT∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC又∵CT⊥AT，∴CT⊥OT∴CT为⊙O的切线．(2)解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点又∵CT⊥AC，∴OE∥CT∴四边形OTCE为矩形∵CT＝3，∴OE＝3又∵OA＝2∴在Rt△OAE中，AE＝OA2－OE2＝22－（3）2＝1∴AD＝2AE＝2.二切线的判定(教材P101习题24.2第4题)如图5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线．∴OC⊥AB.∴AB是⊙O的切线．图5【思想方法】证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．如图6，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．图6解：CD与⊙O相切．理由如下：连接DO，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDO＝∠AOD＝90°.又∵OD是⊙O的半径，CD经过点D，∴CD是⊙O的切线．[2012·温州]如图7，△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．图7变形2答图解：(1)证明：如图，连接OD，∵∠DOB＝2∠DCB，又∵∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB.又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切线．(2)解法一：如图，过点O作OM⊥CD于点M，∵OD＝OE＝BE＝12BO，∠BDO＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠DCB＝30°，∴OC＝2OM＝2，∴OD＝2，BO＝4，∴BD＝23.解法二：如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，∵OM⊥CD，∴CM＝DM.又∵OC＝OE，∴DE＝2OM＝2.∵Rt△BDO中，OE＝BE，∴DE＝12BO，∴BO＝4，∴OD＝OE＝2，∴BD＝23.图8如图8，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．解：(1)连接BD，则∠DBE＝90°.∵四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC＝OE＝1.在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝12AD＝1.∴AD＝2.(2)连接OB，由(1)得BC∥OD，且BC＝OD.∴四边形BCDO是平行四边形．又∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AD.∴四边形BCDO是矩形．∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．图9如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝43，BE＝2.求证：(1)四边形FADC是菱形；(2)FC是⊙O的切线．解：(1)连接OC，依题意知：AF⊥AB，又CD⊥AB，∴AF∥CD，又CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，由垂径定理得：CE＝ED＝12CD＝23，设⊙O的半径为R，则OC＝R，OE＝OB－BE＝R－2，在△ECO中，由勾股定理得：R2＝(R－2)2＋(23)2，解得：R＝4，∴AD＝AE2＋DE2＝62＋（23）2＝43，∴AD＝CD，因此平行四边形FADC是菱形；(2)连接OF，由(1)得：FC＝FA，又OC＝OA，FO＝FO，∴△FCO≌△FAO，∴∠FCO＝∠FAO＝90°，因此FC是⊙O的切线．第3课时切线长定理和三角形内切圆[见B本P46]1．如图24－2－30，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(B)图24－2－30A．4B．8C．6D．10【解析】∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB，又∵∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，即AB＝PA＝8，2．如图24－2－31，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是(D)图24－2－31A．∠1＝∠2B．PA＝PBC．AB⊥OPD．PA2＝PC·PO3．如图24－2－32，已知△ABC中，⊙I内切于△ABC，切点分别为D，E，F，则I是△DEF的(A)图24－2－32A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】⊙I是△DEF的外接圆．4．如图24－2－33，已知PA，PB切⊙O于A，B，C是劣弧AB︵上一动点，过C作⊙O的切线交PA于M，交PB于N，已知∠P＝56°，则∠MON＝(C)图24－2－33A．56°B．60°C．62°D．不可求【解析】连接OA，OB，则∠AOB＝124°，∴∠MON＝12∠AOB＝12×124°＝62°，故选C.5．△ABC中∠A＝80°，若O为外心，M为内心，则∠BOC＝__160__度，∠BMC＝__130__度．【解析】根据分析，得∠BOC＝2∠A＝160°；∠BMC＝90°＋12∠A＝130°.6．[2013·天津]如图24－2－34，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠P＝70°，则∠C的大小为__55°．图24－2－34【解析】连接OA，OB，∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠P－∠PBO＝360°－90°－70°－90°＝110°，∴∠C＝12∠AOB＝55°.7．[2012·菏泽]如图24－2－35，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝__23°__．图24－2－35【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，又∠P＝46°，∴∠PAB＝∠PBA＝180°－46°2＝67°.又PA是⊙O的切线，AO为⊙O的半径，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°.8．如图24－2－36，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO与⊙O相交于C，连接AC，BC，求证：AC＝BC.图24－2－36证明：∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC.∴AC＝BC.9．如图24－2－37，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4.(1)求△ABC的面积；(2)求⊙O的半径；(3)求AF的长．图24－2－37解：(1)∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴△ABC的面积为：12×3×4＝6；(2)连接OE，OD，∵⊙O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点，∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC，又∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四边形ECDO为正方形，∴设OE＝OD＝CE＝CD＝x，∴BE＝3－x，DA＝4－x；∴FB＝3－x，AF＝4－x，∴3－x＋4－x＝5，解得x＝1.(3)∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.10．如图24－2－38所示，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连接AB，过A，B两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P.若已知⊙O的半径为1，则△PAB的周长为__33__．图24－2－38【解析】∵AP，BP是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，PA＝PB.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°，∴∠PAB＝90°－30°＝60°，∴△PAB是等边三角形．在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴BC＝12AC＝12×2＝1，∴AB＝AC2－BC2＝22－12＝3，∴△PAB的周长为33.11．如图24－2－39，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°.(1)求∠P的大小；(2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)．图24－2－39第11题答图解：(1)∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°.∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°－∠BAC＝60°.又∵PA，PC切⊙O于点A，C，∴PA＝PC，∴△PAC为等边三角形，∴∠P＝60°.(2)如图，连接BC，则∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝12AB＝12×2＝1，∴AC＝AB2－BC2＝22－12＝3，∴PA＝AC＝3.12．如图24－2－40，直尺、三角尺都和圆O相切，AB＝8cm.求圆O的直径．图24－2－40第12题答图解：作出示意图如答图，连接OE，OA，OB，∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝12∠BAC.∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，∴∠OAB＝12×120°＝60°，∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16cm.由勾股定理得OB＝OA2－AB2＝162－82＝83(cm)，即⊙O的半径是83cm，∴⊙O的直径是163cm.13．如图24－2－41，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO，AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20cm求△AOB的面积．图24－2－41解：(1)∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°.在四边形APBO中，∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB＝360°－90°－90°－120°＝60°.(2)∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB.∵OA＝OB，PO＝PO，∴△PAO≌△PBO，∴∠APO＝∠BPO＝12∠APB＝30°，∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°，∴OA＝12×OP＝12×20＝10(cm)．在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝10cm