九年级数学上册专题十一+不规则图形面积计算的技巧同步测试+新人教版

不规则图形面积计算的技巧(教材P115习题24.4第4题)图1如图1，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积．解：方法一：由图形可以看出，4个相同阴影部分的面积＝4个半圆的面积－正方形的面积＝12πa2－a2.方法二：阴影部分和空白部分都由四部分组成，且形状大小一样，因此可以根据图形中隐含的数量关系来构造方程求解．设每一部分的阴影部分面积为x，每一部分的空白部分面积为y，根据图形得2x＋y＝12πa22，4x＋4y＝a2，解得x＝18πa2－a24，y＝a22－18πa2，所以阴影部分面积＝4x＝418πa2－a24＝12πa2－a2.【思想方法】将阴影部分的面积转化为规则图形的面积的和差．图2如图2，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为__1.7__．(结果保留两个有效数字，参考数据：π≈3.14)【解析】空白部分的面积等于四个半圆的面积减去正方形的面积，再利用阴影部分的面积等于正方形的面积减去空白部分的面积计算．空白部分的面积＝12π222×4－2×2＝2π－4，阴影部分的面积＝2×2－(2π－4)＝4－2π＋4＝8－2π≈8－2×3.14＝8－6.28＝1.72≈1.7.如图3，以等腰直角△ABC两锐角顶点A，B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC＝2，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为(B)A.14πB.12πC.22πD.2π图3【解析】∵⊙A与⊙B恰好外切，∴⊙A与⊙B是等圆，∵AC＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝22，∴⊙A，⊙B的半径均为2.∴两个扇形(即阴影部分)的面积之和＝∠AπR2360＋∠BπR2360＝（∠A＋∠B）πR2360＝14πR2＝π2.第2课时圆锥的侧面积和全面积[见B本P50]1．已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是(B)A．30cm2B．30πcm2C．15cm2D．15πcm22．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(D)A．2πcmB．1.5cmC．πcmD．1cm【解析】设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr＝120π×3180，解得r＝1cm.3．在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为22，则这个圆锥的侧面积是(B)A．AπB．3πC．22πD．2π【解析】∵底面半径为1，高为22，∴母线长＝2（2）2＋12＝3.底面圆的周长为：2π×1＝2π，∴圆锥的侧面积为：S侧＝12×2π×3＝3π.4．如图24－4－12，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为(C)图24－4－12A．22cmB.2cmC.22cmD.12cm【解析】由图形可知扇形的圆心角为90°，半径为22cm，根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长可以得2πr＝90180×22π，解得r＝22(cm)．5．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，那么圆锥的表面积为(C)A．39πcm2B．30πcm2C．24πcm2D．15πcm2【解析】S表＝S侧＋S底＝π×3×5＋π×32＝24π.故选C.6．一个圆锥的侧面积是36πcm2，母线长是12cm，则这个圆锥的底面直径是__6__cm.7．已知圆锥的底面周长是10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，则该圆锥的母线长是__20__．8．底面半径为1，高为3的圆锥的侧面积等于__2π__．【解析】∵圆锥的高为3，底面的半径是1，∴由勾股定理知：母线长＝（3）2＋1＝2，∴圆锥的侧面积＝12底面周长×母线长＝12×2π×2＝2π.9．如图24－4－13，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高是__3__cm.图24－4－13【解析】∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形，∴留下的扇形的弧长＝4（2π×5）5＝8π，根据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r＝8π2π＝4cm，∴圆锥的高为52－42＝3cm.故答案为3.10．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°.用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为__25__厘米．【解析】扇形的弧长是：150π×60180＝50πcm，设底面半径是rcm，则2πr＝50π，解得：r＝25.故答案是25.11．已知圆锥的高为4，底面半径为2，求：(1)圆锥的全面积；(2)圆锥侧面展开图的圆心角．解：(1)∵圆锥的高为4，底面半径为2，∴圆锥的母线长为25，底面周长是2×2π＝4π，则侧面积是12×4π×25＝45π，底面积是π×22＝4π，则全面积是45π，＋4π＝(4＋45)π.(2)∵圆锥底面半径是2，∴圆锥的底面周长为4π，设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，nπ×25，180＝4π，解得n＝725，圆锥侧面展开图的圆心角为72(5)°.12．如图24－4－14，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为(D)图24－4－14A．4πB．42πC．8πD.82π【解析】如图，过C作CO⊥AB，则Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周所得的几何体的表面积为2×π×OC·AC＝2×π×2×22＝82π.13．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图24－4－15所示，则该几何体的全面积(即表面积)为__68π__(结果保留π)．图24－4－15【解析】圆锥的母线长是32＋42＝5，圆锥的侧面积是12×8π×5＝20π，圆柱的侧面积是8π×4＝32π，几何体的下底面面积是π×42＝16π，则该几何体的全面积(即表面积)为20π＋32π＋16π＝68π.14．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是__30__．15．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1，把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2，求S1∶S2.【解析】以直角三角形的直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆锥．圆锥的表面积S表＝S侧＋S底．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝AB2＋AC2＝62＋82＝10.(1)绕直线AC旋转一周所得圆锥的表面积：S1＝π·AB·BC＋π·AB2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π；(2)绕直线AB旋转一周所得圆锥的表面积：S2＝π·AC·BC＋π·AC2＝π×8×10＋π×82＝80π＋64π＝144π.∴S1S2＝96π144π＝23.16．如图24－4－16，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．(3)试判断⊙O中其余部分能否给(2)中的圆锥做两个底面．图24－4－16解：(1)∵AC⊥BD于F，∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∠OBF＝30°，∵在Rt△ABF中，AB＝4，∴BF＝2，∴OB＝4，∴S阴影＝S扇形BOD＝120·π·42360＝163π；(2)设底面半径为r，∵半径OB＝4，2πr＝120·2π·4360∴r＝43；(3)∵⊙O其余部分面积为323π，而圆锥底面面积为169π.∴⊙O中其余部分能给(2)中的圆锥做两个底面．17．在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图24－4－17所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图24－4－17所示的方案二．(两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切)(1)请说明方案一不可行的理由；(2)判断方案二是否可行，若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆的半径；若不可行，请说明理由．图24－4－17解：(1)理由如下：∵扇形的弧长＝2π×164＝8π，圆锥的底面周长＝2πr，∴圆的半径为4cm.由于所给正方形纸片的对角线长为162cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16＋4＋42＝20＋42＞162，∴方案一不可行．(2)方案二可行．理由如下：设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则(1＋2)r＋R＝162，①2πr＝2πR4.②由①②，可得R＝6425＋2＝3202－12823，r＝1625＋2＝802－3223，故所求的圆锥的母线长为3202－12823cm，底面圆的半径为802－3223cm.