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求二次函数的解析式一设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)求二次函数的解析式(教材P40练习第2题)一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点，求这个二次函数的解析式．解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则c＝0，a－b＋c＝－1，a＋b＋c＝9，解得a＝4，b＝5，c＝0，所以所求的二次函数的解析式为y＝4x2＋5x.【思想方法】若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，求出a，b，c的值．如图1，抛物线的函数解析式是(D)A．y＝x2－x＋2B．y＝x2＋x＋2C．y＝－x2－x＋2D．y＝－x2＋x＋2【解析】根据题意，设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，因为抛物线过点(－1，0)，(0，2)，(2，0)，所以a－b＋c＝0，c＝2，4a＋2b＋c＝0，解得a＝－1，b＝1，c＝2，所以这个二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2.图1图2如图2，二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(－4，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出点P的坐标．解：(1)由已知条件得：c＝0，a×（－4）2－4×（－4）＋c＝0，解得c＝0，a＝－1，∴此二次函数的解析式为y＝－x2－4x.(2)∵点A的坐标为(－4，0)，∴AO＝4.设点P的坐标为(x，h)，则S△AOP＝12AO·|h|＝12×4×|h|＝8，解得|h|＝4.①当点P在x轴上方时，－x2－4x＝4，解得x＝－2，∴点P的坐标为(－2，4)；②当点P在x轴下方时，－x2－4x＝－4，解得x1＝－2＋22，x2＝－2－22，∴点P的坐标为(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)，综上所述，点P的坐标为(－2，4)或(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)．如图3，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)三点．图3(1)求抛物线的解析式；(2)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意，得a－b＋c＝025a＋5b＋c＝0c＝－52，解得a＝12b＝－2c＝－52，∴抛物线的解析式为y＝12x2－2x－52；(2)存在．(i)当点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x＝2对称，∵C点的坐标为(0，－52)，∴点N的坐标为(4，－52)．(ii)当点N′在x轴上方时，如图所示，作N′H⊥x轴于点H，∵四边形ACM′N′是平行四边形，∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO，∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，∴N′H＝OC，∵点C的坐标为(0，－52)，∴N′H＝52，即点N′的纵坐标为52，∴12x2－2x－52＝52，解得x1＝2＋14，x2＝2－14.∴点N′的坐标为(2－14，52)和(2＋14，52)．综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为(4，－52)，(2－14，52)和(2＋14，52)．二设顶点式y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)求二次函数的解析式(教材P36例4)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？解：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系．点(1，3)是这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3)．由这段抛物线过点(3，0)，可得0＝a(3－1)2＋3解得a＝－34因此y＝－34(x－1)2＋3(0≤x≤3)当x＝0时，y＝2.25，也就是说，水管应2.25m长．【思想方法】若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，可设所求二次函数的解析式为y＝a(x＋m)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式即可．已知某二次函数的图象如图4所示，则这个二次函数的解析式为(D)图4A．y＝2(x＋1)2＋8B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝29(x－1)2＋8D．y＝2(x－1)2－8一抛物线的形状、开口方向与y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则此抛物线的解析式为(C)A．y＝12(x－2)2＋1B．y＝12(x＋2)2－1C．y＝12(x＋2)2＋1D．y＝－12(x＋2)2＋1【解析】抛物线的形状、开口方向与y＝12x2－4x＋3相同，所以a＝12.顶点在(－2，1)，所以抛物线的解析式是y＝12(x＋2)2＋1.已知抛物线y＝x2－2x＋c的顶点在x轴上，你认为c的值应为(C)A．－1B．0C．1D．2【解析】根据题意得4c－（－2）24×1＝0，所以c＝1.抛物线y＝x2－2(m＋1)x＋2m2－m的对称轴为x＝3，则m的值是(B)A．1B．2C．3D．4三利用平移规律求二次函数的解析式(教材P34思考)抛物线y＝－12(x＋1)2，y＝－12(x－1)2与抛物线y＝－12x2有什么关系？解：把抛物线y＝－12x2向左平移1个单位，就得到抛物线y＝－12(x＋1)2；把抛物线y＝－12x2向右平移1个单位，就得到抛物线y＝－12(x－1)2.【思想方法】(1)可按照口诀“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式；(2)平移所得函数的解析式与平移的先后顺序无关．抛物线y＝x2－4x＋3的图象向左平移2个单位后所得新抛物线的顶点坐标为(A)A．(0，－1)B．(0，－3)C．(－2，－3)D．(－2，－1)将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式是__y＝x2＋x－2__．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为(B)A．y＝(x＋2)2＋2B．y＝(x－2)2－2C．y＝(x－2)2＋2D．y＝(x＋2)2－2已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．图5解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，把C(0，－3)代入得：3a＝－3，解得：a＝－1，故抛物线解析式为y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3，∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1)；(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．