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圆周角定理的综合运用一巧作辅助线求角度(教材P89习题24.1第7题)求证：圆内接平行四边形是矩形．已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：平行四边形ABCD是矩形．图1证明：∠A＋∠C＝180°(圆内接四边形对角互补)又∠A＝∠C(平行四边形对角相等)∴∠A＝∠C＝90°所以圆内接平行四边形是矩形．如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(A)A．40°B．45°C．50°D．60°图2变形1答图【解析】如图，连接OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝180°－∠BOC2＝40°.如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝__60°__．图3变形2答图【解析】如图，连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC.∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°.∵∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝∠OCD＋∠CDO，∴∠OAD＋∠OCD＝(∠1＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝120°－60°＝60°.[2012·青岛]如图4，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__150°__．【解析】在优弧ADC︵上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝12∠AOC＝30°.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－30°＝150°.故答案为150°.图4图5如图5，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(A)A．35°B．45°C．55°D．75°如图6，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.解：(1)在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，又∵∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形；(2)如图，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠BAC＝120°.∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠OBC＝∠OCB＝12(180°－∠BOC)＝30°.在Rt△BOD中，∠ODB＝90°，∠OBC＝30°，∴OD＝12OB＝12×8＝4.图6变形5答图二圆周角定理与垂径定理的综合(教材P89习题24.1第5题)如图7，OA⊥BC，∠AOB＝50°，试确定∠ADC的大小．图7解：∵OA⊥BC，∴AC︵＝AB︵，∴∠ADC＝12∠AOB＝25°.【思想方法】垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解．如图8，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝33cm，则弦AB的长为(A)图8A．9cmB．33cmC.92cmD.332cm解：∵∠CBA＝30°，∴∠AOC＝2∠CBA＝60°，∵AB⊥OC，∴∠ADO＝90°，∴∠OAD＝30°，∴OD＝12OA＝12×33＝323(cm)，由勾股定理得：AD＝OA2－OD2＝4.5cm，∵AB⊥OC，OC过O，∴AB＝2AD＝9(cm)，故选A.如图9，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为(D)图9变形2答图A．215B．8C．210D．213【解析】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝BC＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r－2，∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝AE2－AB2＝102－82＝6，在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，∴CE＝BE2＋BC2＝62＋42＝213.故选D.如图10，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为(A)图10变形3答图A．45cmB．35cmC．55cmD．4cm【解析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD(角平分线的性质)，∴CD︵＝BD︵，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△OED，∴OE＝AF＝12AC＝3cm，在Rt△DOE中，，DE＝OD2－OE2＝4cm，在Rt△ADE中，AD＝DE2＋AE2＝45cm，故选A.如图11，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为7，则GE＋FH的最大值为__10.5__．图11变形4答图【解析】如图，当GH为⊙O的直径时，GE＋FH有最大值．∵⊙O的半径为7，∴GH＝14.连接OA，OB.∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝7，∵点E，F分别是AC，BC的中点，∴EF＝12AB＝3.5，∴GE＋FH＝GH－EF＝14－3.5＝10.5.故答案为10.5.如图12，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°.(1)求∠B的大小；(2)已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．图12变形5答图解：(1)∵∠APD＝∠C＋∠CAB，∴∠C＝∠APD－∠CAB＝65°－40°＝25°.∴∠B＝∠C＝25°.(2)如图，过点O作OE⊥BD于点E，则DE＝BE.又∵AO＝BO，∴OE＝12AD＝12×6＝3.∴圆心O到BD的距离为3.如图13所示，AB是⊙O的一条弦，E在⊙O上，设⊙O的半径为4cm，AB＝43cm，(1)求圆心O到弦AB的距离OD；(2)求∠AEB的度数．解：(1)连接OA，OB.∵OD⊥AB，∴AD＝12AB＝23cm.在Rt△ODA中，OA＝4cm，∴OD＝OA2－AD2＝16－12＝2(cm)；(2)Rt△ODA中，OA＝4cm，OD＝2cm，∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°.∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOB＝2∠AEB＝120°，∴∠AEB＝12∠AOB＝60°.图13图14如图14，已知在⊙O中，AB＝43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°，求BD及OF的长．解：∵AB＝43，AC⊥BD于F，∠A＝30°，∴BF＝12AB＝43×12＝23，AF＝AB2－BF2＝（43）2－（23）2＝6.∵AC是⊙O的直径，∴BD＝2BF＝2×23＝43.设OF＝x，则OB＝AF－OF＝6－x，在Rt△OBF中，OB2＝BF2＋OF2，即(6－x)2＝(23)2＋x2，解得x＝2，即OF＝2.答：BD的长是43，OF的长是2.如图15，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E.(1)若AC＝16，求AE的长．(2)若C点在⊙O上运动(不包括A，B两点)，则在运动的过程中AC与AE有何特殊的数量关系？请把你探究得到的结论填写在横线上____________________________________________________________________．图15变形8答图解：(1)如图，连接OE，∵AO是⊙D的直径，∴∠OEA＝90°，∴OE⊥AC.∵OE过⊙O的圆心O，∴AE＝CE＝12AC＝12×16＝8.(2)若C点在⊙O上运动(不包括A，B两点)，则在运动的过程中AE＝12AC.