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二次函数的应用一二次函数的实际应用(教材P51探究3)图1中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m时，水面宽度增加多少？图1教材母题答图解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)，可设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a×22，a＝－12.这条抛物线表示的二次函数为y＝－12x2.当水面下降1m时，水面的纵坐标为y＝－3.由y＝－3解得x1＝6，x2＝－6，所以此时水面宽度为26m，所以水面宽度增加(26－4)m.【思想方法】建模：把问题中各个量用两个变量x，y来表示，并建立两种量的二次函数关系，再求二次函数的最大(小)值，从而解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润，最节省方案等问题．注意：建立平面直角坐标系时，遵从就简避繁的原则，这样求解析式就比较方便．某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图2所示．(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数解析式；(2)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，集装箱宽3m，车与集装箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．图2解：(1)设抛物线对应的函数解析式为y＝ax2抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m，所以抛物线过点A(－3，－3)，代入得－3＝9a，解得a＝－13所以函数关系式为y＝－x23.(2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，将x＝1.5代入抛物线方程，得y＝－0.75，此时集装箱上部的角离隧道的底为5－0.75＝4.25米，不及车与集装箱总高4.5米，即4.25＜4.5.所以此车不能通过此隧道．如图3，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m.(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式．(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．图3解：(1)∵h＝2.6，球从点O正上方2m的A处发出，∴y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)，∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得：a＝－160，故y与x的关系式为y＝－160(x－6)2＋2.6，(2)当x＝9时，y＝－160(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能越过球网；当y＝0时，－160(x－6)2＋2.6＝0，解得：x1＝6＋239＞18，x2＝6－239(舍去)故会出界；(3)当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)，代入解析式得：2＝36a＋h，0＝144a＋h，解得：a＝－154，h＝83，此时二次函数解析式为：y＝－154(x－6)2＋83，此时球若不出边界则h≥83，当球刚能过网，此时函数图象过(9，2.43)，y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)，代入解析式得：2.43＝a（9－6）2＋h，2＝a（0－6）2＋h，解得：a＝－432700，h＝19375，此时球要过网则h≥19375，∵83＞19375，∴h≥83，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h≥83.二二次函数的综合应用(教材P47习题22.2第4题)抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－1，0)，(3，0)，求这条抛物线的对称轴．解：解法一：∵点(－1，0)，(3，0)的纵坐标相等，∴这两点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，∴这条抛物线的对称轴是x＝（－1）＋32＝1.解法二：∵函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2，∴x1＋x2＝－ba＝(－1)＋3＝2，∴这条抛物线的对称轴是x＝－b2a＝1.【思想方法】(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性是研究二次函数的性质的关键；(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求解；(3)已知二次函数图象上的一个点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一个点的坐标．[2012·南通改编]如图4，经过点A(0，－4)的抛物线y＝12x2＋bx＋c与x轴相交于B(－2，0)，C两点，O为坐标原点．图4(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y＝12x2＋bx＋c向上平移72个单位长度，再向左平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC的内部，求m的取值范围．解：(1)∵点A(0，－4)，B(－2，0)在抛物线y＝12x2＋bx＋c上，∴c＝－4，2－2b＋c＝0，解得b＝－1，c＝－4，∴抛物线的解析式为y＝12x2－x－4.(2)将抛物线y＝12x2－x－4＝12(x－1)2－92向上平移72个单位长度，再向左平移m(m0)个单位长度后，得到的新抛物线的顶点P的坐标为(1－m，－1)．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则b＝－4，－2k＋b＝0，解得k＝－2，b＝－4，∴y＝－2x－4，当y＝－1时，x＝－32；同理求得直线BC的解析式为y＝x－4，当y＝－1时，x＝3.∵新抛物线的顶点P在△ABC的内部，∴－321－m3且m0，解得0m52.如图5，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为(3，－3)．(1)求该抛物线的函数关系式及点A的坐标；(2)在抛物线上求点P，使S△POA＝2S△AOB；图5解：(1)∵抛物线的顶点为B(3，－3)，∴设抛物线的函数关系式为y＝a(x－3)2－3.∵抛物线经过原点(0，0)，∴0＝a(0－3)2－3，∴a＝39，∴y＝39(x－3)2－3，即抛物线的函数关系式为y＝39x2－233x.令y＝0，得39x2－233x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴点A坐标为(6，0)．(2)如图，∵△AOB与△POA同底不同高，且S△POA＝2S△AOB，∴△POA中OA边上的高是△AOB中OA边上的高的2倍，即P点纵坐标是23.令23＝39x2－233x，即x2－6x－18＝0，解得x1＝3＋33，x2＝3－33，∴所求的点为P1(3＋33，23)，P2(3－33，23)．