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二次函数[时间：90分钟分值：120分]一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的函数是(A)A．y＝－3xB．y＝4xC．y＝－2xD．y＝－x2【解析】B，C，D中当x＜0时，y随x的增大而增大．2．抛物线y＝3(x－1)2＋1的顶点坐标是(A)A．(1，1)B．(－1，1)C．(－1，－1)D．(1，－1)【解析】抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)．3．把二次函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数解析式是(C)A．y＝－3(x－2)2＋1B．y＝－3(x＋2)2－1C．y＝－3(x－2)2－1D．y＝－3(x＋2)2＋1【解析】移动规律是：左加右减，上加下减．4．对于二次函数y＝2(x＋1)(x－3)，下列说法正确的是(C)A．图象的开口向下B．当x1时，y随x的增大而减小C．当x1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x＝－15．图1是反映铅球运动员掷铅球的高度ym与水平距离xm之间的函数关系的图象，其函数解析式为y＝－112x2＋23x＋53，则该运动员此次掷铅球的成绩是(D)图1A．6mB．12mC．8mD．10m【解析】令y＝0得－112x2＋23x＋53＝0，解得x1＝10，x2＝－2(舍去)．图26．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图2所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝(B)A．1B．－1C．－2D．07．已知函数y＝－x2＋x＋2，则当y＜0时，自变量x的取值范围是(A)A．x＜－1或x＞2B．－1＜x＜2C．x＜－2或x＞1D．－2＜x＜1【解析】当y＝0时，－x2＋x＋2＝0，(x＋1)(－x＋2)＝0，x1＝－1，x2＝2，由于函数图象开口向下，可知当y＜0时，自变量x的取值范围是x＜－1或x＞2.8．抛物线图象如图3所示，根据图象，抛物线的解析式可能是(C)图3A．y＝x2－2x＋3B．y＝－x2－2x＋3C．y＝－x2＋2x＋3D．y＝－x2＋2x－3【解析】抛物线图象开口向下，∴a＜0；抛物线图象对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＞0；抛物线图象交y轴于正半轴，∴c＞0，故选C.9．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的大致图象为(B)10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4所示，它与x轴的两个交点分别为(－1，0)，(3，0)．对于下列命题：①b－2a＝0；②abc＜0；③a－2b＋4c＜0；④8a＋c＞0.其中正确的有(B)图4A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题(每小题4分，共24分)11．将二次函数y＝x2－4x＋5化为y＝(x－h)2＋k的形式，则__y＝(x－2)2＋1__．12．抛物线y＝2(x＋1)2是由抛物线y＝2x2向__左__平移__1__个单位得到的．13．若二次函数y＝(m＋1)x2＋m2－9的图象经过原点且有最大值，则m＝__－3__．【解析】∵二次函数的图象过原点，∴m2－9＝0，解得m＝3或m＝－3，又∵m＋1＜0，∴m＝－3.`14．顶点为(－2，－5)且过点(1，－14)的抛物线的解析式为__y＝－x2－4x－9__．【解析】设y＝a(x＋2)2－5，则a(1＋2)2－5＝－14，解得a＝－1，所以y＝－(x＋2)2－5，即y＝－x2－4x－9.15．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图5所示，则抛物线的解析式是__y＝－125x2＋85x__.图5【解析】抛物线的顶点为(20，16)，且过点(0，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x－20)2＋16，把(0，0)代入得a×400＋16＝0，a＝－125.∴y＝－125(x－20)2＋16，即y＝－125x2＋85x.16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出符合要求的一个二次函数的解析式：__y＝－x2＋1__．三、解答题(共66分)17．(10分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y＝x2－3x－4；(2)y＝－4x2＋3x.解：(1)y＝x2－3x－4＝(x－32)2－254，开口向上，对称轴x＝32，顶点坐标为(32，－254)；(2)y＝－4x2＋3x＝－4(x－38)2＋916，开口向下，对称轴x＝38，顶点坐标为(38，916)．18．(8分)已知二次函数的图象经过点A(0，－3)，且顶点P的坐标为(1，－4)．(1)求这个函数的解析式；(2)在平面直角坐标系中，画出它的图象．解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－4，将点A(0，－3)代入，得－3＝a(0－1)2－4，解得a＝1，∴y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.(2)如图所示：19．(8分)如图6，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)和B(3，0)两点，且交y轴于点C.(1)试确定b，c的值；(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．图6解：(1)将A，B两点坐标代入二次函数的解析式，得0＝1－b＋c，0＝9＋3b＋c，解得b＝－2，c＝－3.(2)由(1)得二次函数的解析式为y＝x2－2x－3，配方得y＝x2－2x＋1－4＝(x－1)2－4，抛物线的顶点M的坐标为(1，－4)．令x＝0，得y＝－3，所以C(0，－3)．由抛物线的对称性可得D(2，－3)，CD＝2，CM＝DM＝2，因为CM2＋DM2＝CD2，所以△MCD是等腰直角三角形．20．(10分)某商人如果将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大，并求出最大利润．解：设将售价定为x元时，所赚利润为y元，则y＝[100－10(x－10)](x－8)＝(100－10x＋100)(x－8)＝(200－10x)(x－8)＝－10x2＋280x－1600＝－10(x－14)2＋360，当x＝14时，y取得最大值360，故将售价定为14元时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润为360元．21．(10分)如图7，直线l经过A(3，0)，B(0，3)两点，且与二次函数y＝x2＋1的图象在第一象限内相交于点C.求：(1)△AOC的面积；(2)二次函数图象的顶点D与点A，B组成的三角形的面积．图7解：(1)设过A，B两点的一次函数解析式为y＝kx＋b，则3k＋b＝0，b＝3，解得k＝－1，b＝3，∴y＝－x＋3.由y＝－x＋3，y＝x2＋1，得x＝－2，y＝5，或x＝1，y＝2，又点C在第一象限内，∴C(1，2)，∴S△AOC＝12×OA×2＝12×3×2＝3.(2)∵D(0，1)，∴S△ABD＝12BD·OA＝12×(3－1)×3＝3.22．(10分)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房，如图8(1)，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m.(1)在如图8(2)所示的平面直角坐标系中，求抛物线的解析式．(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户．(1)(2)图8解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2，∵点B(6，－5.6)在抛物线上，∴－5.6＝36a，a＝－745，∴抛物线的解析式为y＝－745x2.(2)设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为(k，t)．已知窗户高1.6m，∴t＝－5.6＋1.6＝－4，∴－4＝－745k2，解得k1≈5.07，k2≈－5.07，∴CD＝|k|×2＝10.14(m)．又设最多可安装n扇窗户，则1.5n＋0.8(n＋1)≤10.14，解得n≤4.06.即最多可安装4扇窗户．23．(10分)[2013·安顺]如图9，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．图9解：(1)∵抛物线与y轴交于点(0，3)∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋3(a≠0)根据题意，得a－b＋3＝09a＋3b＋3＝0，解得a＝－1b＝2.所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)存在．由y＝－x2＋2x＋3，得D点的坐标为(1，4)，对称轴为x＝1.①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点的坐标为(x，y)，根据勾股定理，得x2＋(3－y)2＝(x－1)2＋(4－y)2，即y＝4－x.又点P(x，y)在抛物线上，∴4－x＝－x2＋2x＋3，即x2－3x＋1＝0.解得x＝3±52，∵3－521，应舍去，∴x＝3＋52.y＝4－x＝5－52.即点P的坐标为(3＋52，5－52)．②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P的坐标为(2，3)．∴符合条件的点P的坐标为(3＋52，5－52)或(2，3)．