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第二十三章旋转[时间：90分钟分值：120分]一、选择题(每小题3分，共30分)1．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A)2．下列图片中，哪些是由图片(1)分别经过平移和旋转得到的(A)图1A．(3)和(4)B．(2)和(3)C．(2)和(4)D．(4)和(3)3．在平面直角坐标系内一点P(－2，3)关于原点对称的点的坐标是(D)A．(3，－2)B．(2，3)C．(－2，3)D．(2，－3)【解析】关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数．4．下列四张扑克牌图案，属于中心对称图形的是(B)ABCD5．如图2，一块等腰直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，使A，C，B′三点共线，那么旋转角度的大小为(B)A．45°B．135°C．120°D．60°【解析】旋转角为∠ACA′＝180°－45°＝135°.图2图36．如图3所示，△ABC按顺时针方向转动一定角度后成为△AB′C′，有下列等式：①BC＝B′C′；②∠BAB′＝∠CAC′；③∠ABC＝∠AB′C′；④AB＝B′C′.其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由旋转性质得①②③正确，④错误，故选C.7．如图4，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为(C)图4A．(3，1)B．(1，3)C．(3，－1)D．(1，1)【解析】根据图示可知A点坐标为(－3，－1)，它绕原点O旋转180°后得到的点的坐标为(3，1)，根据平移“上加下减”原则，向下平移2个单位得到的点的坐标为(3，－1)．8．如图5，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是(A)A．M或O或NB．E或O或CC．E或O或ND．M或O或C【解析】若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH.图5图69．如图6所示，直线y＝－43x＋4与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是(D)A．(3，4)B．(4，5)C．(7，4)D．(7，3)【解析】由y＝－43x＋4知A(3，0)，B(0，4)，依题意知O′A＝OA＝3，O′B′＝OB＝4，且O′A与x轴垂直，故B′(7，3)，选择D.图710．如图7所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠EPF是直角，顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，上述结论中始终正确的有(C)A．①④B．①②C．①②③D．①②③④二、填空题(每小题4分，共24分)11．给出下列图形：①线段；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤梯形；⑥圆．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是__①④⑥__．【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的特征判断．12．如图8，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是__平行四边形__．图813．如图9，Rt△ABC的斜边AB＝16，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为__8__．图914．如图10所示，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，∠BAC≠90°.将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出中心对称图形__3__个．图10【解析】因为平行四边形是中心对称图形，故有3种拼法．15．若点M(－1＋8n，4－2n)关于原点对称的点在第三象限，则整数n的值为__1__．【解析】∵M(－1＋8n，4－2n)关于原点对称的点在第三象限，∴点M(－1＋8n，4－2n)在第一象限，∴－1＋8n0，4－2n0，解得18n2.又∵n为整数，∴n的值为1.16．如图11，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF＝α度，②A1E＝CF，③DF＝FC，④AD＝CE，⑤A1F＝CE，其中正确的是__①②⑤__(写出正确结论的序号)．图11【解析】将△ABC绕点B顺时针旋转α度，故①正确，图中△ABC≌△A1BC1，△ABE≌△C1BF，△A1DE≌△CDF，△A1BF≌△CBE，故可得出②⑤正确．三、解答题(共66分)17．(10分)如图12，已知EC⊥AF，EC＝AC，BC＝CF.(1)试说出△EFC怎样由△ABC变换得到．(2)请你发挥想象：AB，EF有什么样的关系？(位置与数量关系)解：(1)△EFC可由△ABC绕点C顺时针旋转90°得到．(2)AB与EF垂直且相等．图12图1318．(10分)如图13，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，点B′恰好落在BC边上，求∠C.解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，∴AB＝AB′，∠BAB′＝30°，∴∠B＝∠AB′B＝(180°－30°)÷2＝75°，∴∠C＝180°－75°＝105°.19．(10分)如图14，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；(3)在x轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．图14解：(1)如图所示：(2)如图所示：旋转中心的坐标为(1.5，－1)；(3)点P的坐标为(－2，0)．20．(10分)如图15，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.图15解：∵E为BC的中点，∴BE＝CE.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C，AB＝AC.∵AP＝AQ，∴AB－AP＝AC－AQ，即BP＝CQ.在△BPE和△CQE中，BP＝CQ，∠B＝∠C，BE＝CE，∴△BPE≌△CQE.21．(10分)如图16，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.(1)求证：AF－BF＝EF；(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．图16第21题答图解：(1)证明：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠2＋∠3＝90°.∵DE⊥AG，∴∠AED＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2.又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠AED＝90°.在△AED和△BFA中，∠1＝∠2，∠AED＝∠BFA，AD＝AB，∴△AED≌△BFA，∴BF＝AE.∵AF－AE＝EF，∴AF－BF＝EF.(2)如图，根据题意知∠FAF′＝90°，DE＝AF′＝AF.∵∠1＝∠2＝∠F′AD，∴DE∥AF′，∴四边形AEDF′为矩形，∴EF′＝AD＝3.22．(16分)将一副三角板按如图17(1)位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB＝AC＝8cm，将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图17(2))，两个三角形重叠(阴影)部分的面积约是多少平方厘米？图17解：如图所示，过F作FG⊥AC于G，则∠FGC＝90°.∵∠FCG＝45°，∴∠CFG＝∠FCG＝45°，∴FG＝CG.设FG＝xcm，则CG＝xcm.在Rt△FAG中，∠FAG＝60°，∴∠GFA＝30°，∴AG＝12AF，∴AF＝2AG.又FG2＋AG2＝AF2，∴x2＋AG2＝(2AG)2，∴3AG2＝x2，∴AG2＝x23，∴AG＝33x.又AC＝CG＋AG，∴x＋33x＝8，解得x＝243＋3＝4(3－3)，∴S阴影＝12AC·FG＝12×8×4(3－3)＝48－163(cm2)．