九年级数学上册24.3+正多边形和圆同步测试+新人教版

正多边形和圆1．正六边形的边心距与边长之比为(B)A.3∶3B.3∶2C．1∶2D.2∶2【解析】如图：设正六边形的边长是a，则半径长也是a；经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，则AC＝12AB＝12a，∴OC＝OA2－AC2＝32a，∴正六边形的边心距与边长之比为：32a∶a＝3∶2.2．如图24－3－1，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是(D)图24－3－1A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C.AC︵＝BC︵D．∠BAC＝30°【解析】因为OA＝AB＝OB，所以△OAB是等边三角形，又OC⊥AB，所以∠AOC＝∠BOC＝30°，所以∠BAC＝15°，D不正确．3．如图24－3－2，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O(使该角的顶点落在点O处)，把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是(B)图24－3－2A．4B．5C．6D．7【解析】360÷30＝12；360÷60＝6；360÷90＝4；360÷120＝3；360÷180＝2.因此n的所有可能的值共五种情况．4．如图24－3－3，要拧开一个边长为a＝6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为(C)图24－3－3A．62mmB．12mmC．63mmD．43mm5．已知正六边形的边心距为3，则它的周长是(B)A．6B．12C．63D．123【解析】正六边形的边长等于半径，设半径为R，则12R2＋(3)2＝R2，∴R＝2，它的周长是6R＝6×2＝12，故选B.6．若正六边形的边长为4cm，那么正六边形的中心角是__60__度，半径是__4__cm，边心距是__23__cm，它的每一个内角是__120°__．7．[2012·巴中]已知一个圆的半径为5cm，则它的内接正六边形的边长为__5__cm.8．已知一个正n边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n＝__8__．【解析】由360n＝180（n－2）n×13，得n＝8.9．已知⊙O和⊙O上的一点A，如图24－3－4所示．图24－3－4(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)在(1)题所作的图中，如果点E在AB︵上，试证明EB是⊙O的内接正十二边形的一边．【解析】(1)根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)计算EB所对的圆心角的度数．解：(1)如图所示，在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC和BD，连接AB，BC，CD，DA，得⊙O的内接正方形ABCD；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O中作出正六边形AEFCGH.(2)如图，连接OE.∵AE是正六边形的一边，∴∠AOE＝360°6＝60°.∵AB是正方形的一边，∴∠AOB＝360°4＝90°，∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝90°－60°＝30°.设EB是⊙O的内接正n边形的一边，则360°n＝30°，∴n＝12，∴EB是⊙O的内接正十二边形的一边．10．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：(1)作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；(2)以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连接BD，如图2.若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是(C)图24－3－5A．BD2＝5－12ODB．BD2＝5＋12ODC．BD2＝5ODD．BD2＝52OD11．[2013·徐州]如图24－3－6，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为____________cm2.图24－3－6【解析】连接HE，AD，在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，∵正八边形每个内角为：（8－2）×180°8＝135°，∴∠HGM＝45°，∴MN＝MG，设MH＝MG＝x，则HG＝AH＝AB＝GF＝2x，∴BG×GF＝2(2＋1)x2＝20，四边形ABGH面积＝12(AH＋BG)×HM＝(2＋1)x2＝10，∴正八边形的面积为：10×2＋20＝40(cm2)．12．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图24－3－7)，求证：五边形ABCDE是正五边形．图24－3－7第13题答图证明：如图所示，连接BE，AD，设纸条的宽度为h，则S△ABE＝12AB·h＝12AE·h，∴AB＝AE，同理得AB＝BC，BC＝CD，∴AE＝AB＝BC＝CD.∵纸条的宽度固定，∴AE∥BD，CD∥BE，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5.由折叠性质得∠ABD＋∠ABC＝180°，从而得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝36°，由此易得∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，AE＝AB＝BC＝CD＝DE，∴五边形ABCDE是正五边形．13．如图24－3－8所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，求证：五边形AEBCD是正五边形．图24－3－8【解析】要证明五边形AEBCD是正五边形，只需证AE︵＝EB︵＝BC︵＝CD︵＝DA︵即可．证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°，即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE，∴BC︵＝AD︵＝CD︵＝BE︵＝AE︵，∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点，∴五边形AEBCD是正五边形．14．如图24－3－9，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O.(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)判断四边形AODE的形状，并说明理由．:学科图24－3－9解：(1)△ABO，△ABC，△BOC，△DOC，△BCD.(2)四边形AODE是菱形，理由如下：∵AB＝BC，∠ABC＝（5－2）×180°5＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝12×(180°－108°)＝36°，同理得∠CBD＝∠CDB＝36°，∴∠ABO＝∠ABC－∠CBD＝72°，∠AOB＝180°－∠ABO－∠BAC＝72°，∴AB＝AO，同理得DO＝DC，∴OA＝AE＝ED＝DO，∴四边形AODE是菱形．15．小刚现有一边长为am的正方形花布，准备做一个形状为正八边形的风筝，参加全校组织的风筝比赛，问：在这样的花布上怎样裁剪，才能得到一个面积最大的风筝？解：如图所示，在正方形ABCD中，△DEF，△CGH，△BOP，△AMN为全等的等腰直角三角形，八边形EMNOPHGF为正八边形．设直角边DE＝DF＝CG＝CH＝x.在Rt△DEF中，EF＝2x.∵EF＝FG，且DC＝DF＋FG＋CG，∴x＋x＋2x＝a，解得x＝2－22a≈0.3a，因此，从四个角上各剪去一个直角边长约为0.3am的等腰直角三角形，即可得到一个面积最大的正八边形风筝．16．小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型，如图24－3－10所示，该正五边形的边心距OB长为2，AC为科学方舟船头A到船底的距离，请你计算AC＋12AB＝__522__．图24－3－10【解析】设正五边形的边长为a，根据正五边形的面积等于科学方舟面积的2倍列方程求解，依题意，有12×2×a×5＝12×AB×a2＋12×a×AC×2，即522a＝12AB＋AC×a，∴12AB＋AC＝522.