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弧、弦、圆心角1．若AB︵，CD︵是同一圆上的两段弧，且AB︵＝CD︵，则弦AB与弦CD之间的关系是(C)A．AB＜CDB．AB＞CDC．AB＝CDD．不能确定【解析】同圆或等圆中等弧所对的弦相等．2．如图24－1－27所示，AB是⊙O的直径，C，D是BE︵上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE为(C)A．40°B．60°C．80°D．120°【解析】易知∠EOB＝180°－60°＝120°.∵C，D是BE︵的三等分点，∴BC︵＝CD︵＝DE︵，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE，∴∠COE＝23∠EOB，∴∠COE＝23×120°＝80°.故选C.图24－1－27图24－1－28图24－1－293．如图24－1－28，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，延长OD交⊙O于E，则下列说法错误的是(D)A．AD＝BDB．∠AOE＝∠BOEC.AE︵＝BE︵D．OD＝DE【解析】由垂径定理得A，C正确．又由AE︵＝BE︵得∠AOE＝∠BOE，故B正确，故选D.4．如图24－1－29，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝(D)A．70°B．60°C．50°D．40°【解析】∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－110°＝70°.∵AD∥OC，∴∠A＝∠AOC＝70°.∵OA＝OD，∴∠A＝∠D＝70°.∴∠AOD＝180°－∠A－∠D＝180°－70°×2＝40°.故选D.5．已知AB︵，CD︵是同圆的两段弧，且AB︵＝2CD︵，则弦AB与2CD之间的关系为(B)A．AB＝2CDB．AB＜2CDC．AB＞2CDD．不能确定【解析】如图，在圆上截取DE︵＝CD︵，则有AB︵＝CE︵，∴AB＝CE.∵CD＋DE＝2CD＞CE＝AB，∴AB＜2CD.6．如图24－1－30，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝(B)A．105°B．120°C．135°D．150°图24－1－30图24－1－317．如图24－1－31所示，AB是⊙O的直径，如果∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相等的线段有__OC，OD，OB，AC，CD，DB__；与AC︵相等的弧有__CD︵和DB︵__．8．如图24－1－32，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠A＝42°，则∠B＝__69°__．【解析】∵AB︵＝AC︵，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝12(180°－∠A)＝12×(180°－42°)＝69°.图24－1－32图24－1－339．如图24－1－33，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是__67.5°__．【解析】因为OD平分∠BOC，所以∠BOD＝12∠BOC＝12×90°＝45°.因为OA＝OD，所以∠A＝∠D.又因为∠BOD＝∠A＋∠D＝2∠A，所以∠A＝12∠BOD＝12×45°＝22.5°，所以∠AEO＝90°－22.5°＝67.5°.10．如图24－1－34所示，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，则AC与CB的大小关系是__AC＝CB__．图24－1－34图24－1－3511．如图24－1－35，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，以C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为__70__度．【解析】连接CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝35°，∴∠A＝90°－∠B＝55°.∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA＝55°，∴∠ACD＝180°－2∠A＝70°.12．如图24－1－36，AB，BC，AC都是⊙O的弦，且∠AOB＝∠BOC.求证：(1)∠BAC＝∠BCA；(2)∠ABO＝∠CBO.图24－1－36【解析】(1)在⊙O中，有圆心角∠AOB＝∠BOC，则可知该圆心角所对的弦相等，即AB＝BC，在△ABC中，AB＝BC，则∠BAC＝∠BCA.(2)图中共有4个等腰三角形，根据它们的底角分别相等，可以得出结论．证明：(1)∵∠AOB＝∠BOC，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.(2)∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO，同理得∠CBO＝∠BCO，∠CAO＝∠ACO.又∵∠BAC＝∠BCA，∴∠BAO＝∠BCO，∴∠ABO＝∠CBO.13．如图24－1－37所示，已知AB为⊙O的直径，M，N分别为OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：AC︵＝BD︵.图24－1－37第13题答图【解析】证两弧相等，可根据其定义和圆心角、弦、弧三者之间的关系定理与推论来证明．证明：如图所示，连接OC，OD，则OC＝OD.又OM＝12OA，ON＝12OB，OA＝OB，∴OM＝ON，∴Rt△CMO≌Rt△DNO，∴∠COA＝∠DOB，∴AC︵＝BD︵.14．如图24－1－38所示，A，B，C为⊙O上的三点，且有AB︵＝BC︵＝CA︵，连接AB，BC，CA.(1)试确定△ABC的形状；(2)若AB＝a，求⊙O的半径．图24－1－38第14题答图解：(1)∵AB︵＝BC︵＝CA︵(已知)，∴AB＝BC＝CA(在同圆中相等的弧所对的弦相等)，∴△ABC为等边三角形．(2)如图，连接OA，OB，OC，过O作OE⊥BC，垂足为E.∵AB︵＝BC︵＝CA︵(已知)，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA(在同圆中相等的弧所对的圆心角相等)．又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°(周角的定义)，∴∠BOC＝120°.又∵OB＝OC，OE⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝60°，BE＝EC＝12BC＝12AB＝12a(等腰三角形三线合一)．∴∠OBE＝90°－∠BOE＝30°.∴OE＝12OB.根据勾股定理得BE2＋OE2＝OB2，∴12a2＋12OB2＝OB2，解得OB＝33a(负值已舍)，即⊙O的半径为33a.15．如图24－1－39，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点．连接AB，AD，AF，求证：AB＋AF＝AD.【解析】连接OB，OF，得到等边△AOB，△AOF，据此并结合圆的性质，即可推理出AB＝AF＝AO＝OD，从而得到AB＋AF＝AD.图24－1－39解：连接OB，OF.∵A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°，又∵OA＝OB，OA＝OF，∴△AOB，△AOF是等边三角形，∴AB＝AF＝AO＝OD，∴AB＋AF＝AO＋OD＝AD.16．已知如图24－1－40，A点是半圆上一个三等分点，B点是AN︵的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为多少？图24－1－40第16题答图【解析】利用圆的对称性，找到AP＋BP取最小值时的P点，再结合弧与圆心角的关系得到直角三角形，运用勾股定理求解．解：作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，连接BA′交MN于P，连接PA，则PA＋PB最小，此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，连接OA，OA′，OB.∵AN︵＝13MN︵，∴∠AON＝∠A′ON＝60°.∵AB︵＝BN︵，∴∠BON＝12∠AON＝30°，∴∠A′OB＝90°，∴A′B＝OA′2＋OB2＝12＋12＝2，即AP＋BP的最小值是2.