搜索
旋转23.1__图形的旋转__第1课时旋转的概念及性质[见B本P28]1．将图23－1－1按顺时针方向旋转90°后得到的是(A)图23－1－12．如图23－1－2，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是(B)图23－1－2A．72°B．108°C．144°D．216°图23－1－33．如图23－1－3，点A，B，C，D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(C)A．30°B．45°C．90°D．135°4．如图23－1－4，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是(B)A．110°B．80°C．40°D．30°【解析】根据旋转的性质可得∠A′＝∠A，∠A′CB′＝∠ACB.∵∠A＝40°，∴∠A′＝40°.∵∠B′＝110°，∴∠A′CB′＝180°－110°－40°＝30°.∴∠ACB＝30°.∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，∴∠ACA′＝50°，∴∠BCA′＝30°＋50°＝80°.图23－1－4图23－1－55．如图23－1－5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是(D)A．45°B．30°C．25°D．15°6．如图23－1－6，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝110°，则∠α＝__20°__．图23－1－6第6题答图【解析】如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠D′＝∠D＝90°，∠4＝α，∵∠1＝∠2＝110°，∴∠3＝360°－90°－90°－110°＝70°，∴∠4＝90°－70°＝20°，∴∠α＝20°.23－1－77．如图23－1－7，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝__20__度．8．同学们都玩过万花筒吧，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图23－1－8所示是可以看作万花筒的一个图案，图中所有小三角形是全等的等边三角形，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心按照什么方向旋转多少度得到的？图23－1－8【解析】将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一定的角度，意味着图形上每个点同时都旋转相同的角度，所以找一点观察即可．以点B为例，旋转后点B旋转到点E的位置，是以点A为中心，按逆时针方向旋转120°得到的，整个菱形亦然．解：菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心，按逆时针方向旋转120°得到的．图23－1－99．如图23－1－9，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为(C)A．60°B．75°C．85°D．90°10．如图23－1－10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为(C)A．30，2B．60，2C．60，32D．60，3【解析】由旋转性质知△BCD是等边三角形，n＝60，DC＝BC＝2，∴∠DCF＝30°，△CDF是直角三角形，∴DF＝1，CF＝3，∴阴影部分的面积为12×1×3＝32，故选C.图23－1－10图23－1－1111．如图23－1－11，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.(1)线段OA1的长是__6__，∠AOB1的度数是__135°__；(2)连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；(3)求四边形OAA1B1的面积．【解析】(1)OA1＝OA＝6，∠AOB1＝∠A1OB1＋∠A1OA＝45°＋90°＝135°；(2)证明OA綊A1B1；(3)四边形OAA1B1的面积＝OA·OA1＝6×6＝36.解：(2)证明：∵∠AOA1＝∠OA1B1＝90°，∴OA∥A1B1.又OA＝AB＝A1B1，∴四边形OAA1B1是平行四边形；(3)四边形OAA1B1的面积＝OA·OA1＝6×6＝36.12．把正方形ABCD绕着点A按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H(如图23－1－12所示)．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．图23－1－12第12题答图解：HG＝HB.证法1：如图(a)所示，连接AH.∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠B＝∠G＝90°.由题意知AG＝AB，又AH＝AH，∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL)，∴HG＝HB.证法2：如图(b)所示，连接GB.∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC＝∠AGF＝90°.由题意知AB＝AG，∴∠AGB＝∠ABG，∴∠HGB＝∠HBG，∴HG＝HB.13．如图23－1－13所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE，CE，求△ADE的面积．图23－1－13第13题答图解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，连接AC，易证四边形ABFD是矩形，所以BF＝AD＝2，所以FC＝BC－BF＝3－2＝1.因为∠BCD＝45°，DF⊥BC，所以△DFC是等腰直角三角形，所以DF＝FC＝1.因为CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，所以∠CDE＝90°，CD＝ED.因为∠ADC＝180°－∠BCD＝135°，所以∠ADE＝360°－∠ADC－∠CDE＝135°＝∠ADC，又因为AD＝AD，所以△ADE≌△ADC，所以S△ADE＝S△ADC.因为平行线间的距离处处相等，所以S△ADE＝S△ADC＝12AD·DF＝12×2×1＝1.图23－1－1414．一副三角板按图23－1－14所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α角(0°α180°)，当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是__30°，45°，75°，135°，165°__．第2课时旋转作图[见A本P29]1．△ABC在如图23－1－15所示的平面直角坐标系中，将△ABC向右平移3个单位长度后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，则下列说法正确的是(D)A．A1的坐标为(3，1)B．S四边形ABB1A1＝3C．B2C＝22D．∠AC2O＝45°【解析】因为A点坐标为(－2，3)，所以该点向右平移3个单位长度后得A1(1，3)；平移后四边形ABB1A1的面积为3×2＝6；同样可求出B2(0，－1)，C2(－2，－2)，所以B2C＝10，∠AC2O＝45°.图23－1－15图23－1－162．如图23－1－16，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是(B)A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】∵△PBC绕点B旋转到△P′BA，∴∠P′BA＝∠CBP，∴∠PBP′＝∠P′BA＋∠ABP＝∠ABP＋∠CBP＝∠ABC＝60°，故选B.3．如图23－1－17所示，E是正方形ABCD内一点，∠AEB＝130°，BE＝3cm，△ABE按顺时针方向旋转一个角度后成为△CBF，图中__B__是旋转中心，旋转__90__度，点A与点__C__是对应点，△BEF是__等腰直角__三角形，∠CBF＝__∠ABE__，∠BFC＝__130__度，BF＝__3__cm.图23－1－17图23－1－184．分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图23－1－18所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是__90__度．【解析】题中图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转3次所组成，故最小旋转角为90°.5．如图23－1－19所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过__4__次旋转而得到，每一次旋转__72__度．【解析】由旋转特征作答．图23－1－19图23－1－206．如图23－1－20所示，△ABC的顶点坐标分别为A(3，6)，B(1，3)，C(4，2)．如果将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，那么点A的对应点A′的坐标为__(8，3)__．【解析】作出△A′B′C，认真看图可得A′(8，3)．7．如图23－1－21，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，BE＝CF，连接AE，BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角为α(0°＜α＜180°)，则α＝__90°__．图23－1－21图23－1－228．如图23－1－22所示，已知四边形ABCD绕点O顺时针旋转一定角度后，使得点A落在点A′处，试作出旋转后的图形．【解析】要作出旋转后的图形，关键是缺少“旋转的角度”，需要从图中找出来．解：图略．作法：(1)连接OA，OA′.(2)连接OB，OC，OD，分别以OB，OC，OD为始边，点O为顶点顺时针作∠BOB′，∠COC′，∠DOD′，并使得∠BOB′＝∠COC′＝∠DOD′＝∠AOA′，OB′＝OB，OC′＝OC，OD′＝OD.(3)顺次连接A′，B′，C′，D′四点．则四边形A′B′C′D′就是所要作的图形．9．如图23－1－23，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴对称得到△A2B2C2.图23－1－23解：如图所示：10．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP＝3，那么线段PP′的长等于__32__．【解析】由题意可知AP＝AP′＝3，∠PAP′＝90°，所以PP′＝32.图23－1－2411．如图23－1－24，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0＜m＜180)度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝__80或120__．12．如图23－1－25，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，B的坐标分别为A(－4，0)，B(－4，2)．(1)现将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到矩形OA1B1C1，请画出矩形OA1B1C1；(2)画出直线BC1，并求直线BC1的函数解析式．图23－1－25第12题答图解：(1)矩形OA1B1C1如图所示．(2)连接BC1，矩形OA1B1C1是由矩形OABC绕O点顺时针方向旋转90°得到的，所以OC＝OC1＝2，又因为点C1在x轴的正半轴上，所以点C1的坐标为(2，0)．设直线BC1的解析式为y＝kx＋b，且经过(－4，2)和(2，0)两点，可列方程组为－4k＋b＝2，2k＋b＝0，解得k＝－13，b＝23，所以直线BC1的函数解析式是y＝－13x＋23.图23－1－2613．如图23－1－26，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE.(1)观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论．(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说明旋转过程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由已知可证明△BCG≌△DCE，得BG＝DE；(2)△BCG绕点C顺时针方向旋转90°后与△DCE重合．解：(1)BG＝DE.证明如下：∵四边形ABCD和四边形