第二十三章过关自测卷(100分,45分钟)一、选择题(每题3分,共24分)1.已知下列命题:①关于一点对称的两个图形一定不全等;②关于一点对称的两个图形一定是全等图形;③两个全等的图形一定关于一点对称.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.〈江苏泰州〉下列标志图(图1)中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()图13.如图2,在正方形ABCD中,E为DC边上的点,连接BE,将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF,连接EF,若∠BEC=60°,则∠EFD的度数为()图2A.10°B.15°C.20°D.25°4.如图3①,将正方形纸片两次对折,并剪出一个菱形小洞后铺平,得到的图形是图3②中的()图35.如图4所示的图案中,绕自身的某一点旋转180°后还能与自身重合的图形的个数是()图4A.1B.2C.3D.46.已知a<0,则点P(-a2,-a+1)关于原点的对称点P′在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上,如图5①.在图5②中,将骰子向右翻滚90°,然后在桌面上按逆时针方向旋转90°,则完成一次变换.若骰子的初始位置为图5①所示的状态,那么按上述规则连续完成10次变换后,骰子朝上一面的点数是()图5A.6B.5C.3D.28.如图6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△EDC,此时,点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n的大小和图中阴影部分的面积分别为()A.30,2B.60,2C.60,32D.60,3图6二、填空题(每题4分,共24分)9.如图7,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,BE=CF,连接AE、BF.将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF,旋转角为α(0°<α<180°),则α=_______.图710.如图8,△ABC的顶点坐标分别为A(4,6)、B(5,2)、C(2,1),如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°,得到△A′B′C,那么点A的对应点A′的坐标是_______.图811.如图9,△ABC的3个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上,将△ABC绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置,且点A′、C′仍落在格点上,则线段AB扫过的图形的面积是_______平方单位(结果保留π).图9图1012.直线y=x+3上有一点P(3,n),则点P关于原点的对称点P′为_______.13.如图10,△ABC是直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,若AP=3,则PP′的长是_______.14.如图11①,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4.将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转,分别得到图11②、图11③、…,则旋转得到的图11⑩的直角顶点的坐标为_______.图11三、解答题(17题10分,18题12分,19题14分,其余每题8分,共52分)15.如图12,在平面直角坐标系中,三角形②③是由三角形①依次旋转后所得的图形.图12(1)在图中标出旋转中心P的位置,并写出它的坐标;(2)在图中画出再次旋转后的三角形④.16.如图13所示,(1)观察图①~④中阴影部分构成的图案,请写出这四个图案都具有的两个共同特征:图13(2)借助图⑤的网格,请设计一个新的图案,使该图案同时具有你在解答(1)中所给出的两个共同特征.(注意:①新图案与图①~④的图案不能重合;②只答第(2)问而没有答第(1)问的解答不得分)17.如图14,矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称,(1)四边形BDEG是菱形吗?请说明理由;图14(2)若矩形ABCD面积为2,求四边形BDEG的面积.18.如图15,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,每个小方格的边长为1个单位长度.正方形ABCD顶点都在格点上,其中,点A的坐标为(1,1).(1)若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°,点B到达点B1,点C到达点C1,点D到达点D1,求点B1、C1、D1的坐标;图15(2)若线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰好是一元二次方程x2+ax+1=0的一个根,求a的值.19.〈潍坊〉如图16①所示,将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起,构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE′F′D′,旋转角为α.图16(1)当点D′恰好落在EF边上时,求旋转角α的值;(2)如图16②,G为BC中点,且0°<α<90°,求证:GD′=E′D;(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中,△DCD′与△CBD′能否全等?若能,直接写出旋转角α的值;若不能,说明理由.参考答案及点拨一、1.B2.B3.B点拨:由旋转性质得△BCE≌△DCF,所以∠DFC=∠BEC=60°,CE=CF,又∠ECF=90°,所以∠EFC=45°,所以∠EFD=∠DFC-∠EFC=60°-45°=15°.4.C5.D点拨:四个图形都是中心对称图形,所以绕自身的某一点旋转180°后都与自身重合.6.D7.B点拨:先向右翻滚,然后再逆时针旋转叫做一次变换,那么连续3次变换是一个循环.本题先要找出3次变换是一个循环,然后再求10被3整除后余数是1,从而确定第10次变换的结果与第1次变换相同.8.C二、9.90°10.(-3,3)点拨:△A′B′C的位置如答图1.答图111.134π点拨:在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=22ACBC=2232=13,由图形可知,线段AB扫过的图形为扇形ABA′,旋转角为90°,∴线段AB扫过的图形的面积为29013360π()=134π.12.(-3,-6)点拨:把x=3代入y=x+3得y=6,所以P(3,6),P′(-3,-6).13.32点拨:∵△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,∴AP′=AP,∠CAP′=∠BAP,∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°,∴△PAP′为等腰直角三角形,PP′为斜边,∴PP′=2AP=32.14.(36,0)点拨:在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,则AB=5,每旋转3次为一循环,则图③④的直角顶点坐标为(12,0),图⑥⑦的直角顶点坐标为(24,0),所以,图⑨⑩的直角顶点坐标为(36,0).三、15.解:(1)旋转中心点P位置如答图2所示,点P的坐标为(0,1);(2)旋转后的三角形④如答图2所示.答图216.解:(1)①都是轴对称图形;②面积都等于四个小正方形的面积之和.(2)答案不唯一,只要设计的图案同时具有所给出的两个共同特征,均正确,例如:同时具备特征①②的部分图案如答图3所示:答图317.解:(1)四边形BDEG是菱形.理由:因为矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称,所以BE和DG互相平分,四边形BDEG是平行四边形;又因为∠DAB=90°,所以四边形BDEG是菱形.(2)因为矩形ABCD面积为2,所以△DAB的面积为1,所以菱形BDEG的面积为4.18.解:(1)如答图4,B1、C1、D1的坐标分别为:B1(2,-1),C1(4,0),D1(3,2);(2)连接AC1,根据勾股定理,AC1=2231=10,∴线段AC1的长度与点D1的横坐标的差是10-3,∴(10-3)2+(10-3)a+1=0,整理得(10-3)a=-20+610,解得a=-210.答图419.(1)解:∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE′F′D′,∴CD′=CD=2,在Rt△CED′中,CD′=2,CE=1,∴∠CD′E=30°,∵CD∥EF,∴α=30°;(2)证明:∵G为BC中点,∴CG=1,∴CG=CE,∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE′F′D′,∴∠D′CE′=∠DCE=90°,CE=CE′.∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α.在△GCD′和△E′CD中, CDCDGCDDCECGCE,,,∴△GCD′≌△E′CD,∴GD′=E′D;(3)解:能.旋转角α为135°或315°.