高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法

函数的定义域与值域的常用方法（一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；（四）求函数的最值1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（xo）＝M，则称当x＝xo时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。【典型例题】考点一：求函数解析式1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。例1.已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。解：由4x2－9y2＝36可解得：22229,3293329,33xxxyxx。说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成2293xy的形式。2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。例2.已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。解：设kyx，代入x，y的值可求得反比例系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为780,0yxx。3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例3.已知2211()xxxfxx，试求()fx。解：设1xtx，则11xt，代入条件式可得：2()1fttt，t≠1。故得：2()1,1fxxxx。说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例4.（1）已知21()2()345fxfxxx，试求()fx；（2）已知2()2()345fxfxxx，试求()fx；解：（1）由条件式，以1x代x，则得2111()2()345ffxxxx，与条件式联立，消去1fx，则得：222845333xfxxxx。（2）由条件式，以－x代x则得：2()2()345fxfxxx，与条件式联立，消去fx，则得：2543fxxx。说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。例5.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。解：由题意知：当x∈［0，1］时：y＝x；当x∈（1，2）时：21yx；当x∈（2，3）时：231yx；故综上所述，有22,0,11,(1,2]31,(2,3]xxyxxxx考点二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例6.求324xyxx的定义域。解：由题意知：204xx，从而解得：x－2且x≠±4.故所求定义域为：{x|x－2且x≠±4}。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例7.已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435－617解：{1，2，3，4，5，6}。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。2()3,(),(())43xfxxgxyfgxxx例8已知求的定义域.解：2()33()3343xfxxxgxxx由又由于x2－4x＋30**联立*、**两式可解得：9339331344933933|1344xxxxx或故所求定义域为或例9.若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得24x，故定义域为2,4。4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。例10.求函数()1fxax的定义域。解：若0a，则x∈R；若0a，则1xa；若0a，则1xa；故所求函数的定义域：当0a时为R，当0a时为1|xxa，当0a时为1|xxa。说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。考点三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例11.求函数231xyx的值域。解：2112312111xxyxxx，因为101x，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例12.求函数y＝2x2＋4x的值域。解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。3、判别式法例13.求函数2223456xxyxx的值域。解：2223456xxyxx可变形为：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解得：26632663,7171y。说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。4、单调性法例14.求函数23yx，x∈［4，5］的值域。解：由于函数23yx为增函数，故当x＝4时，ymin＝25；当x＝5时，ymax＝513，所以函数的值域为513,25。5、换元法例15.求函数241yxx的值域。解：令10tx，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。例16.求函数2,[1,2],(2,3]21,(3,4]xxyxxxx的值域。解：当x∈［1，2］时，y∈［1，2］；当x∈(2，3］时，y∈(4，9］；当x∈(3，4］时，y∈(5，7］。综上所述，y∈［1，2］∪(3，9］。7、图像法：例17设f(x)＝2,2,,1,xxxx≥若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数y＝g(x)的值域是()A.(－∞，－1]∪[1，＋∞)B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)C.[0，＋∞)D.[1，＋∞)解析：如图为f(x)的图象，由图象知f(x)的值域为(－1，＋∞)，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪[0，＋∞).故选B.8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例18求函数1212xxy的值域。解：由1212xxy解得121xyy，∵20x，∴101yy，∴11y∴函数1212xxy的值域为(1,1)y。9、有界性求法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例19：求函数2211xyx的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得2(1)(1)yxy，∵1y，∴211yxy（xR，1y），∴101yy，∴11y，∴函数2211xyx的值域为{|11}yy