高中数学必修一函数概念定义域值域-教学方案

函数的概念函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的函数，记作)(xfy，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数)(xfy的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合Axxf|)(（B）叫做函数y=f(x)的值域.对函数概念的理解需注意以下几点：①函数首先是两个数集之间建立的对应，A、B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应③认真理解xfy的含义：xfy是一个整体，xfy并不表示f与x的乘积，它是一种符号，它可以是解析式，也可以是图像，也可以是表格④函数符号)(xfy表示“y是x的函数”，有时简记作函数)(xf.【例1】判断下列对应能否表示y是x的函数：（1）xy；（2）xy；（3）2xy；（4）xy2；（5）122xy；（6）122xy。【练1】判断下列图象能表示函数图象的是（）xy0(A)xy0(D)xy0(C))xy0(B)区间的概念和记号设a,bR,且ab.我们规定：①满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；②满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；③满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b),(a，b].这里的实数a和b叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：定义名称符号数轴表示{x|axb}闭区间[a，b]{x|axb}开区间(a，b){x|axb}左闭右开区间[a，b]{x|axb}左开右闭区间(a，b)这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足xa，xa，xb，xb的实数x的集合分别表示为[a，+)，（a，+）,(-,b],(-,b).注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；②有两个区间端点，且左端点小于右端点；③两个端点之间用“，”隔开.④无穷大是一个符号，不是一个数⑤以“-”或“+”为区间一端时，这一端必须是小括号。【练】试用区间表示下列实数集：（1）{x|5≤x6}；（2）{x|x≥9}；（3）{x|x≤-1}∩{x|-5≤x2}；（4）{x|x-9}∪{x|9x20}。函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数的定义域：函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围函数y=f(x)的定义域的求法：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r与圆面积S的函数关系为S=πr2的定义域为{r︱r0}⑥)(xf=x0的定义域是{x∈R︱x≠0}注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。【例1】求下列函数的定义域：①21)(xxf；②23)(xxf；③xxxf211)(.【练1】求下列函数的定义域：（1）422xxxf（2）4()2xfxx（3）83yxx（4）xxxy||)1(0表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。【例1】若函数aaxaxy12的定义域是R，求实数a的取值范围奎屯王新敞新疆【练1】已知函数()fx26(8)kxkxk的定义域为R，求实数k的范围复合函数1.复合函数定义定义：设函数)(ufy，)(xgu，则我们称))((xgfy是由外函数)(ufy和内函数)(xgu复合而成的复合函数。其中x被称为直接变量，u被称为中间变量。复合函数中直接变量x的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量u的取值范围，即是)(xg的值域，是外函数)(ufy的定义域。设f(x)=2x3，g(x)=x2+2，则称f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1（或g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11）为复合函数，这样把两个函数,或者几个函数套在一起,就称为复合函数.做复合函数的题目,一定要分清几个函数叠套的关系,知道什么是真正的自变量.2.定义域问题复合函数的定义域，就是复合函数(())yfgx中x的取值范围。题型一、已知)x(f的定义域，求)]x(g[f的定义域。［例1］已知函数f（x）的定义域为(0，1)，求f（x2）的定义域.题型二、已知)]x(g[f的定义域，求f(x)的定义域。［例2］f(2x+1)定义域为[2,5]，求f(x)的定义域。题型三、已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域［例3］已知函数f（x＋1）的定义域为[－2，3]，求f（2x2－2）的定义域.【配套练习】1．若xf的定义域为2x，则3xf的定义域为_____________2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为__________新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3.已知函数y＝f（x）的定义域为[0，1]，求f（x－1）的定义域.4.已知函数y＝f（x－1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域.5.已知函数y＝f（x－2）的定义域为[1，2]，求y＝f（x＋3）的定义域函数的对应法则：①对应关系f是函数关系的本质特征，)(xfy的意义是：y就是x在关系f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。如)(xf=3x+4，f表示3倍的自变量加上4，f（8）=3x8+4=28②)(xf与)(af的区别)(af表示)(xf在x=a时的函数值，是常量；而)(xf是x的函数，通常是变量奎屯王新敞新疆.)(af是)(xf的一个特殊值。如一次函数)(xf=3x+4，当x=8时，f（8）=3x8+4=28是一个常量。【例1】已知函数)(xf=32x-5x+2，求f(3),f(-2),f(a+1).函数的值域：对于)(xfy，xA，与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合Axxf|)(叫做函数y=f(x)的值域。题型2函数的值域1.一次函数【例1】求1,3,23xxxf的值域2.二次函数（配方法）特征：2()fxaxbxc对策：①先找二次函数的对称轴，②A、若对称轴在定义域内，y的两个最值点分别出现在顶点处及距对称轴较远处B、若对称轴不在定义域内，则将定义域两端点代入函数，即得y的两个最值点【例1】求函数y=2x-2x+5的值域。【例2】0,3,1422xxxxf的值域【例3】5,2,1422xxxxf的值域。【练1】函数()1,1,1,2fxxx的值域是（）Ａ．0,2,3Ｂ．30yＣ．}3,2,0{Ｄ．]3,0[【练2】函数xy3的值域是【练3】12)(2xxxf，]2,2[x的最大值是【练4】函数224yxx的值域是（）A.[2,2]B.[1,2]C.[0,2]D.[2,2]【练5】若函数234yxx的定义域为[0,]m,值域为25[4]4，，则m的取值范围是（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆4,0B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3[]2，4C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3[3]2，D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3[2，）【练6】若函数23212xxy的定义域和值域都是b,1,则实数b的值为___________【练7】已知函数abaxbaxxf82，当2,3x时，0xf，当,23,x时，0xf（1）求1,0xxf在上的值域。（2）当c取何值时，02cbxax恒成立。带参数的二次函数：函数中带有参数或定义域里有参数，均已讨论对称轴在区间的位置为方向【例1】（1）求函数2()1,[2,2]fxxaxx的值域；【例2】对于二次函数243yxx，当2mxm时，求出函数的最小值。【练1】已知函数3)(2axxxf，当]2,2[x时，axf)(恒成立，求a的最小值．【练2】设函数2()41,,1fxxxxtt，求()fx的最小值()gt的解析式．3.反比例函数【例1】1,32432xxy在求上的值域【练1】4,31123xxy在求上的值域。4.分离常数法【练1】（1）1xxy（2）213xyx5.打勾函数法【例1】（1）xxy1奎屯王新敞新疆（2）1232yxx【练1】已知,2x求21xxy的最小值为_________【练2】求12(3)2yxxx的值域。【练3】当1x时，求231()1xxfxx的最小值是___________6．一次根式函数换元法：()fxaxbxc解题方法：换元法，取tbxc，则2tcxb，将原函数改写为二次函数求值域，记得写新定义域【例1】求函数1xxy的值域。【练1】求函数求函数12xxy的值域7．带绝对值或分段函数【例】求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.【练1】求函数()|2||3|fxxx的值域；【练2】求分段函数222(03)()6(20)xxxfxxxx的值域函数的解析式1、待定系数法【例】（1）已知二次函数()fx满足(1)1f，(1)5f，图象过原点，求()fx；【练1】已知y1=f(x)表示过（0，-2）点的一条直线，y2=g(x)表示过（0，0）点的另一条直线，又f[g(x)]=g[f(x)]=3x-2,求这两条直线的交点坐标。【练2】已知f（f（x））＝2x－1，求一次函数f（x）【练3】设二次函数)(xf满足)2()2(xfx