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高中数学必修五综合测试题（总分150分时间120分钟）第I卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°2.在△ABC中，已知a＝2bcosC，那么△ABC的内角B、C之间的关系是()A．BCB．B＝CC．BCD．关系不确定3.已知平面上有四点O，A，B，C，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→＝－1，则△ABC的周长是()A．3B．6C．36D．964.设a，b，c为△ABC的三边，关于x的方程(a2＋bc)x2＋2b2＋c2x＋1＝0有两个相等的实数根，则A的度数是()A．120°B．90°C．60°D．30°5.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．56.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x、y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝12，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围为()A．[12，2)B．[12，2]C．[12，1]D．[12，1)7.已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)，则a20＝()A．－3B．0C.3D.328.已知等差数列{an}的前n项和为S，a5＝5，S5＝15，则数列{1anan＋1}的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.1011009.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn10.在下列函数中，最小值是2的是()A．y＝x2＋2xB．y＝x＋2x＋1(x0)C．y＝sinx＋cscx，x∈(0，π2)D．y＝7x＋7－x11.关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.72B.52C.154D.15212.设关于x，y的不等式组2x－y＋10，x＋m0，y－m0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求m的取值范围是()A．(－∞，43)B．(－∞，13)C．(－∞，－23)D．(－∞，－53)第II卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若x0且x≠1，p、q∈N＋，则1＋xp＋q与xp＋xq的大小关系为________．14.在公差不为零的等差数列{an}中，a1，a2为方程x2－a3x＋a4＝0的两实数根，则此数列的通项公式为________．15.已知当x0时，不等式x2－mx＋40恒成立，则实数m的取值范围是________．16.在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是1532.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（10分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．18.（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．19.（12分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－220.（12分）当x32时，求函数y＝x＋82x－3的最值，并求出此时x的值．21.（12分）已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1.求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.22.（12分）设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sinA.高中数学必修五综合测试题答案第I卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）123456789101112BBCCDDAAADBC第II卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.1＋xp＋qxp＋xq14.an＝2＋(n－1)×2＝2n15.(－∞，4)16.②③三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12分）(1)b1＝a2－a1＝1，当n≥2时，bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，∴{bn}是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝(－12)n－1，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n－2＝1＋1－－12n－11－－12＝1＋23[1－(－12)n－1]＝53－23(－12)n－1，当n＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a1.∴an＝53－23(－12)n－1(n∈N*)．18.（12分）(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)．所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429.由正弦定理得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角．所以cosA＝1－sin2A＝13.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝1022719.（12分）(1)设{an}的公差为d.由题意，a211＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝n2(a1＋a3n－2)＝n2(－6n＋56)＝－3n2＋28n20.（12分）因为x32，所以2x－30.y＝x＋82x－3＝12(2x－3)＋82x－3＋32.因为3－2x2＋83－2x≥23－2x2×83－2x＝4，所以2x－32＋82x－3≤－4.所以y＝x＋82x－3≤－4＋32＝－52.当且仅当3－2x2＝83－2x，即x＝－12或x＝72时，取等号．因为x32，所以x＝－12时等号成立．所以当x＝－12时，函数y＝x＋82x－3有最大值－52.原函数无最小值．21.（12分）∵a、b、c都是正数，且a＋b＋c＝1，∴1－a＝b＋c≥2bc0，1－b＝a＋c≥2ac0，1－c＝a＋b≥2ab0.∴(1－a)(1－b)(1－c)≥2bc·2ac·2ab＝8abc.∴原不等式成立．22.（12分）(1)f(x)＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＋1－cos2x2＝12cos2x－32sin2x＋12－12cos2x＝12－32sin2x.所以当2x＝－π2＋2kπ，即x＝－π4＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)最大值＝1＋32，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，故函数f(x)的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由f(C2)＝－14，即12－32sinC＝－14，解得sinC＝32，又C为锐角，所以C＝π3.由cosB＝13，求得sinB＝223.由此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝223×12＋13×32＝22＋36.