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《圆》第一节垂直于弦的直径导学案1主编人：主审人：班级：学号：姓名：学习目标：【知识与技能】1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论2学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题3了解拱高、弦心距等概念【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法【情感、态度与价值观】在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的新意识，良好的运用数学【重点】垂径定理及其推论【难点】垂径定理及其推论学习过程:一、自主学习（一）复习巩固判断：1、直径是弦，弦是直径。（）2、半圆是弧，弧是半圆。（）3、周长相等的两个圆是等圆。（）4、长度相等的两条弧是等弧。（）5、同一条弦所对的两条弧是等弧。（）6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。（）7、请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦；_________________________________叫做直径.8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：____半圆：_________________________优弧：_________________表示方法：__劣弧：_______________________________,表示方法：______9、同心圆:____________________等圆:___________________________.10、同圆或等圆的半径_______.等弧:_______________________（二）自主探究请同学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？BACDOM圆是对称图形，其对称轴是任意一条过的直线．（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：相等的弧：这样，我们就得到垂径定理：垂直于的直径平分弦，并且平分弦所对的两条．表达式：下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M求证：AM=BM，弧AC=BC，弧AD=BD.分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可．证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中∴Rt△OAM≌Rt△OBM()∴AM=∴点和点关于CD对称∵⊙O关于CD对称∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，弧AC与BC重合，AD与CD重合．∴，，进一步，我们还可以得到结论：平分弦（）的直径垂直于，并且平分弦所对的两条．表达式：（三）、归纳总结：1．圆是图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理推论．（四）自我尝试：1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？BACOMDABCDOEABOEABOEDABOEDCBDOA2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？注：在半径r,弦a，弦心距d,拱高h四个量中，任意知道其中的个量中，利用定理，就可以求出其余的量。3、如图，两圆都以点O为圆心，求证AC=BD二、教师点拔1、圆是轴对称图形，经过圆心的都是它的对称轴。由此可得出垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧。平分弦（不是直径）的直径于弦，并且弦所对的两条弧。如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。在圆的有关计算和证明中，常作圆心到的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。三、课堂检测1、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。OABEREDBACCEDOF2、如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形。四、课外训练1．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．2．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）(5)（6）3．如图6，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，则弦CD长4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点O是CD弧所在圆的圆心，其中CD=300m，E为CD弧上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=45m，求这段弯路的半径．5.AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？BACEDOBACEDOFOBACEDMMOABCD