21.3 实际问题与一元二次方程 三课时

第1课时教学内容21.3实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．教学重点用“倍数关系”建立数学模型．教学难点用“倍数关系”建立数学模型．教学过程一、导入新课问题1：列方程解应用题下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：星期一二三四五甲12元12.5元12.9元12.45元12.75元乙13.5元13.3元13.9元13.4元13.75元某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．则0.5(0.2)2000.40.61300xyxy解得1000(1500(xy股)股)答：（略）二、新课教学上面这道题是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．因为一月份是1万台，那么二月份应是（1＋x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1＋x）＋（1＋x）x＝（1＋x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝3.31.去括号，得1＋1＋x＋1＋2x＋x2＝3.31．整理，得x2＋3x－0.31＝0．解得：x＝10%答：（略）以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．例某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．解：设平均增长率为x，则200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝950．整理，得x2＋3x－1.75＝0．解得：x＝50%答：所求的增长率为50%．三、巩固练习1．填空题．（1）某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．（2）某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．（3）我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在2009年涨价30%后，2011年降价70%至a元，则这种药品在2009年涨价前价格是__________．参考答案（1）6(1＋x)6(1＋x)26＋6(1＋x)＋6(1＋x)2（2）A(1＋x)2t（3）10039a2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x则：1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·8%)x·80%＝1320整理，得：1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0解得：x1＝－2（不符，舍去），x2＝18＝0.125＝12.5%答：所求的年利率是12.5%．四、课堂小结本节课应掌握：利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．五、布置作业习题21.3第6题．第2课时教学内容21.3实际问题与一元二次方程（2）：建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题．教学目标1．掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．2．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述.3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点如何解决增长率与降低率问题．教学难点某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．教学过程一、导入新课问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?分析：总利润＝每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500＋0.1x×100）．解：设每张贺年卡应降价x元，则(0.3－x)(500＋1000.1x)＝120.解得：x＝0.1.答：每张贺年卡应降价0.1元．我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元？如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．二、新课教学例1某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.751000.10.2534，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．解：（1）从上面可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，则：（0.75－y）（200＋0.25y×34）＝120．即（34－y）（200＋136y）＝120整理：得68y2＋49y-15＝0y＝496481268∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）y≈0.23元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．例2两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析和解答见教材第20页．三、巩固练习1．填空．（1）一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．（2）甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．（3）一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，则列出的方程是________．参考答案：（1）2（2）1（3）(1－63x)2＝28632．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．（2）销售利润y＝(销售单价x－销售成本40)×销售量[500－10(x－50)]（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过1000040＝250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．解：（1）销售量：500－5×10＝450（kg）；销售利润：450×(55－40)＝450×15＝6750元．（2）y＝(x－40)[500－10(x－50)]＝－10x2＋1400x－40000（3）由于水产品不超过10000÷40＝250kg，定价为x元，则(x－400)[500－10(x－50)]＝8000．解得：x1＝80，x2＝60．当x1＝80时，进货500－10(80－50)＝200kg250kg，满足题意．当x2＝60时，进货500－10(60－50)＝400kg250kg，（舍去）．四、课堂小结本节课应掌握：建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．五、布置作业习题21.3第7题．第3课时教学内容21.3实际问题与一元二次方程（3）：根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．教学目标1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．3．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．教学重点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．教学难点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．教学过程一、导入新课教师引导学生复习三角形、正方形、长方形、梯形、菱形、平行四边形和圆的面积公式，导入新课的教学．现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．二、新课教学例某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x＋2，渠底为x＋0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm，则渠底为（x＋0.4）m，上口宽为（x＋2）m．依题意，得12(x＋2＋x＋0.4)x＝1.6．整理，得5x2＋6x－8＝0．解得：x1＝45＝0.8m，x2＝－2（不合题意，舍去）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．（2）1.675048＝25天．答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；