24.4 第1课时 弧长和扇形面积4

第1页共6页24.4弧长和扇形面积(第1课时)教学内容1．n°的圆心角所对的弧长L=180nR2．扇形的概念；3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=2360nR；4．应用以上内容解决一些具体题目．教学目标了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=2180nR和扇形面积S扇=2360nR的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．重难点、关键1．重点：n°的圆心角所对的弧长L=180nR，扇形面积S扇=2360nR及其它们的应用．2．难点：两个公式的应用．3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．教具、学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．教学过程一、复习引入（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．1．圆的周长公式是什么？2．圆的面积公式是什么？3．什么叫弧长？老师点评：（1）圆的周长C=2R（2）圆的面积S图=R2（3）弧长就是圆的一部分．二、探索新知（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．2．1°的圆心角所对的弧长是_______．3．2°的圆心角所对的弧长是_______．4．4°的圆心角所对的弧长是_______．第2页共6页……5．n°的圆心角所对的弧长是_______．（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：n°的圆心角所对的弧长为360nR例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即AB的长（结果精确到0.1mm）40mm分析：要求AB的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．解：R=40mm，n=110∴AB的长=180nR=11040180≈76.8（mm）因此，管道的展直长度约为76.8mm．问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:5像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（小黑板），请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题：1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．第3页共6页2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．……5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．老师检察学生练习情况并点评1．3602．S扇形=1360R23．S扇形=2360R24．S扇形=25360R5．S扇形=2360nR因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形S扇形=2360nR例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求AB的长（结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．解：AB的长=60180×10=103≈10.5S扇形=60360×102=1006≈52.3因此，AB的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2．三、巩固练习课本P122练习．四、应用拓展例3．（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．（2）尝试与思考：如图a、b所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．第4页共6页DECBAO(a)(b)（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD．∵四边形ABCD是正方形∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON∴△AMO≌△DNO∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．（2）120°；70°（3）360n；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是Sn．五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握：1．n°的圆心角所对的弧长L=180nR2．扇形的概念．3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=2360nR4．运用以上内容，解决具体问题．六、布置作业1．教材P124复习巩固1、2、3P125综合运用5、6、7．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．A．3B．4C．5D．6第5页共6页2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（）A．1B．C．2D．2(1)(2)(3)3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）A．12mB．18mC．20mD．24m二、填空题1．如果一条弧长等于4R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．2．如图3所示，OA=30B，则AD的长是BC的长的_____倍．三、综合提高题1．已知如图所示，AB所在圆的半径为R，AB的长为3R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．2．如图，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=3，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积．第6页共6页答案:一、1．B2．D3．D二、1．45°16R2．3三、1．连结OD、O′C，则O′在OD上由ABl=3R，解得：∠AOB=60°，由Rt△OO′C解得⊙O′的半径r=13R，所以⊙O′的周长为2r=23R．2．⊙O、⊙A、⊙B的周长分别为20cm，4cm，4cm，可求出它的半径分别为10cm、2cm、2cm，所以OA=8cm，OB=12cm，因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，所以⊙A滚动回原位置经过距离为2×8=16=4×4，而⊙B滚动回原位置经过距离为2×12=24=4×6．因此，与原题意相符．3．设屏幕被着色面积为S，则S=S△ABD+S扇形BDD`+S△BC`D`=S矩形ABCD+S扇形BDD`，连结BD′，在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′=AD=3，∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°，∴S=16·22+1·3=3+23．