初中数学【9年级上】22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第二十二章二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质情境引入学习目标1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）导入新课复习引入y=a(x-h)2+ka0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当xh时，y随着x的增大而减小；当xh时，y随着x的增大而增大.当xh时,y随着x的增大而增大；当xh时，y随着x的增大而减小.x=h时,y最小=kx=h时,y最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.顶点坐标对称轴最值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0,0)y轴0(0,-5)y轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43??????讲授新课二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一探究归纳我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论的图象和性质？216212yxx问题1怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？216212yxx216212yxx配方可得2221(126642)2xx21(1242)2xx2221[(126)642]2xx21[(6)6]2x21(6)3.2x想一想：配方的方法及步骤是什么？问题2你能说出的对称轴及顶点坐标吗？21(6)32yx答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.问题3二次函数可以看作是由怎样平移得到的？21(6)32yx212yx答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题4如何用描点法画二次函数的图象？216212yxx…………9876543x解:先利用图形的对称性列表21(6)32yx7.553.533.557.5510xy510然后描点画图，得到图象如右图.O问题5结合二次函数的图象，说出其性质.216212yxx510xy510x=6当x6时，y随x的增大而减小；当x6时，y随x的增大而增大.试一试你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？O将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？y=ax²+bx+ccababxabxa2222222222bbbaxxcaaacababxa422222424bacbaxaa归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即2224().24bacbyaxbxcaxaa因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是：对称轴是：直线24(,).24bacbaa.2bxa归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)(2)xyOxyO如果a0,当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大.如果a0,当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小.2bxa2bxa2ba2ba2ba2ba例1已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A．b≥－1B．b≤－1C．b≥1D．b≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴，即b≤1，故选择D.2(1)bxbD典例精析练一练填表：顶点坐标对称轴最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5(1,3)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6(,-6)13直线x=13例2已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4D由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系一【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x－1可得2a－b＜0，故②正确；归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系①a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下；②a，b同号对称轴在y轴的左侧；a，b异号对称轴在y轴的右侧；③c＝0⇔经过原点；c0⇔与y轴的交点位于x轴的上方；c0⇔与y轴的交点位于x轴的下方；④当x＝1时，y的值为a＋b＋c，当x＝－1时，y的值为a－b＋c．⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0；当对称轴x＝－1时，＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0．因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝与1的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与1的大小.ab2ab2ab212ba-1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x=则该二次函数图象的对称轴为()D当堂练习52322.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：22(1)21213;(2)580319;1(3)22;2(4)12.yxxyxxyxxyxx直线x=33,5直线x=88,1直线x=1.2559,48直线x=0.519,243.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,（，y2）是抛物线上两点，则y1y2.其中正确的是（）23A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④xyO2x=-1BOyx–1–234.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=–2时，x的值只能取0；其中正确的是.直线x=1（2）课堂小结24(,)24bacbaa2bxa顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a≠0)(一般式)配方法公式法(顶点式)224()24bacbyaxaa见《学练优》本课时练习课后作业