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24.2.2直线和圆的位置关系第3课时1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．2.学会运用切线长定理解有关问题．3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．OPBA1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？2、这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数.50°130°OABP思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，则∠OAP=90°,连接OP，可知A、B除了在⊙O上，还在怎样的圆上?如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？.尺规作图：过⊙O外一点作⊙O的切线O·PABO在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.·OPAB切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线长概念切线和切线长是两个不同的概念：1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.OPAB比一比：切线与切线长OABP12折一折思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?请证明你所发现的结论.APOBPA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB证一证切线长定理∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA=PB,OP平分∠APB.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何语言:OPAB反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法PA=PB∠OPA=∠OPBAPOB若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分ABM证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.试一试APO.B若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB，∴AC=BC.C.PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.想一想探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.BAPOCE（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PBAB⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPCD△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的等腰三角形△ABP△AOB（3）写出图中所有的全等三角形BAPOCED【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.【解析】设AF=x(cm),则AE=x(cm)∴CD=CE=AC-AE=(13-x)cmBD=BF=AB-AF=(9-x)cm由BD+CD=BC可得(13-x)+(9-x)=14解得x=4∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).例题1.（口答）如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周长．(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数.C·OPBDAE跟踪训练答案：14cm67°【例2】如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证：AD+BC=AB+CD证明：由切线长定理得AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．DLMNABCOP例题1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.42xx【解析】设OA=xcm；在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm,由勾股定理，得PA2+OA2=OP2，即42+x2=(x+2)2整理，得x=3所以，半径OA的长为3cm.跟踪训练ABCDEF2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、F.求AE、CD、BF的长..Ixyz【解析】设AE=x，BF=y，CD=zxyz答：AE、CD、BF的长分别是9、2、6.x+y=15y+z=8x+z=11x=9y=6z=2则解得1．（珠海·中考）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（）A.60°B.90°C.120°D.150°D2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A．2B．3C．D．【解析】选D.如图所示，连接OA、OB，则三角形AOB是直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因为内切圆半径为1，利用勾股定理求得AB=那么这个正三角形的边长为.323323BA3.已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.【解析】易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB.∴PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周长为24cm切线的6个性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；（6）切线长定理.通过本课时的学习，需要我们掌握：