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24.1.2垂直于弦的直径1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.观察右图，有什么等量关系？AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC，弧AD＝弧BD，AE＝BEAO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧AC＝弧BDOCDABOBCDAE已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.求证：AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理证明猜想判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE【解析】定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故前三个图均不能，仅第四个图可以！定理辨析例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，圆心O到AB的距离为3㎝，求圆O的半径。EOAB例题【解析】根据题意得，AE=4cmOE⊥ABOE=3cm在Rt△OEA中，根据勾股定理得：AO2=OE2+AE2=32+42=25AO=5cmOABCD变式1：AC、BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗？OABCDOABCDFE变式3：EA＝____,EC=_____.FDFBOABCD变式4：______AC=BD.OA=OBOABCD变式5：______AC=BD.归纳：OC=OD如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径.MPBO关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线.跟踪训练【解析】提示作OM垂直于PB，连接OA.答案：A17画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.题设结论①直线CD经过圆心O②直线CD垂直弦AB③直线CD平分弦AB④直线CD平分弧ACB⑤直线CD平分弧AB想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？OBCDAE①③②④⑤②③①④⑤①④②③⑤②④①③⑤①②⑤①②④④⑤①②③③④③⑤（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.OBCDAE推论1如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？弧AE＝弧BF圆的两条平行弦所夹的弧相等.FOBAECD推论22.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝OEB．CE＝DE12CEC．OE＝D．∠AOC＝60°B1．（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是()A.3B.4C.6D.8D3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B、C。圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A.B.C.D.【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则AD==3,∴OD=3-1=2,∴OB=1032231312BC222313.【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6.答案：64.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是．5、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证：AC＝BD.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.AE－CE＝BE－DE.所以，AC＝BDE.ACDBO通过本课时的学习，需要我们：1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.