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25.2用列举法求概率知识点一知识点二知识点三知识点一用列举法求概率在一次试验中,如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性大小相等,那么我们就可以通过列举试验结果的方法,求出随机事件发生的概率.名师解读:先列举出所有可能出现的结果数,再一一列举出所求的每一件事可能发生的结果数,然后代入概率公式进行计算.知识点一知识点二知识点三例1任意掷一枚均匀的硬币两次,则两次都不是正面朝上的概率是()解析:首先利用列举法可得任意掷一枚均匀的硬币两次,等可能的结果有:正正,正反,反正,反反,∴两次都不是正面朝上的概率是.答案:BA.0B.14C.13D.1214知识点一知识点二知识点三用列举法求概率适合于结果总数较少的问题,注意列举出所有可能出现的情况时,不要出现漏掉其中的一部分的情况.知识点一知识点二知识点三知识点二用列表法求概率列表法就是用表格将所有的情况全部用表格列出,找出其中可能发生的情况,然后利用概率公式计算即可.名师解读:列表法适合于各种情况的求概率的问题,一般用于求含有两个变量的事件的概率.知识点一知识点二知识点三例2从一副扑克牌中取出的两组牌,分别是黑桃1,2,3,4和方块1,2,3,4,将它们背面朝上分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出一张,那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少?分析:由于摸出黑桃的结果有4种,摸出方片的结果也有4种,所以总共有16种情况,比较复杂,我们可以列表表示,从中找出和为5的所有情况,即可以求出要求的概率.知识点一知识点二知识点三解:方法一:用下表列举所有可能得到的牌面数字之和:方块黑桃123411+1=22+1=33+1=44+1=521+2=32+2=43+2=54+2=631+3=42+3=53+3=64+3=741+4=52+4=63+4=74+4=8从上表可知,共有16种情况,每种情况发生的可能性相同,而两张牌的牌面数字之和等于5的情况共出现4次,因此牌面数字之和等于5的概率为.416=14知识点一知识点二知识点三方法二:由于摸出黑桃的结果有4种,摸出方片的结果也有4种,所以总共有16种情况,其中和为5的情况有“黑桃1方片4,黑桃4方片1,黑桃2方片3,黑桃3方片2”四种情况,所以牌面数字之和为5的概率为.416=14知识点一知识点二知识点三当结果总数比较少时,一般用列举法比较方便;当结果总数比较多时,易采用列表法.知识点一知识点二知识点三知识点三用树状图法求概率树状图法就是通过树状图把所有等可能事件的结果表示出来,看起来一目了然,以便能求得事件的概率.名师解读:树状图法适用于求两步及两步以上事件的概率,尤其是事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时,用这种方法求概率最有效.知识点一知识点二知识点三例3书架上有两套同样的教材,每套分上、下两册,在这四册教材中随机抽取两册,恰好组成一套教材的机会是()分析:首先根据题意画树状图,然后根据树状图求得所有等可能的结果与恰好组成一套教材的情况数,再根据概率公式求解即可求得答案.A.23B.13C.12D.16知识点一知识点二知识点三解:画树状图如图所示,由图可知一共有12种等可能的结果,恰好组成一套教材的有4情况,∴恰好组成一套教材的机会是.答案:B412=13知识点一知识点二知识点三注意列表法与树状图法可以不重不漏地表示出所有等可能的结果,适合于两步及两步以上事件的概率的求解.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一灵活选用方法求随机事件的概率例14张背面图案完全相同的卡片A,B,C,D,其正面分别画有不同的图案(如图所示),现将这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张,放回洗匀再摸出一张.(1)用树状图(或列表法)表示两次摸出卡片所有可能的结果;(卡片用A,B,C,D表示)(2)求摸出的两张卡片正面图案都是中心对称图形的概率.拓展点一拓展点二拓展点三分析:(1)由于所有等可能的情况总数有限,所以可以采用任何方法;(2)中心对称图形是绕某点旋转180°后能够和原来的图形完全重合,那么B,D是中心对称图形,看所求的情况占总情况的多少即可.解:(1)画树状图如下:列表如下:ABCDA(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)C(A,C)(B,C)(C,C)(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)(D,D)拓展点一拓展点二拓展点三(2)由图可知只有卡片B,D才是中心对称图形.所有可能的结果有16种,其中满足摸出的两张卡片图形都是中心对称图形(记为事件A)有4种,即(B,B),(B,D),(D,B),(D,D).∴P(A)=416=14.拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,选择哪种方法,主要根据结果总数灵活选择,如果结果总数较小时,易用列举法(枚举法);结果总数较多时,易采用列表法;当事件是三步或三步以上时,易采用“树状图法”.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二摸球“放回”与“不放回”的概率例2在一个不透明的袋子中装有2个红球,1个白球,它们除颜色外其余均相同,随机从中摸出一球,记录下颜色后将它放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一球,则(1)两次都摸到红球的概率是多少?(2)两次摸到的球一红一白的概率是多少?分析:(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况,再利用概率公式即可求得答案;(2)首先由(1)求得两次摸到的球一红一白的情况,再利用概率公式即可求得答案.拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)画树状图如下:∵共有9种等可能的结果,两次都摸到红球的有4种情况,∴两次都摸到红球的概率是.(2)∵两次摸到的球一红一白的有4种情况,∴两次摸到的球一红一白的概率是.4949拓展点一拓展点二拓展点三列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意是放回试验还是不放回试验.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三游戏的公平性例3一袋装有四个上面分别标有数字1,2,3,4,除数字外其他完全相同的小球.摇匀后,甲从中任意抽取1个,记下数字后放回摇匀,乙从中任意抽一个,记下数字,然后把这两个数相加(每次抽取前均看不清小球).(1)请用列表或树状图的方法求两数和为3的概率;(2)甲与乙按上述方法做游戏,当两数之和为3时,甲胜,反之乙胜.若甲胜一次得9分,那么乙胜一次得多少分,这个游戏对双方才公平?分析:(1)本题考查概率问题中的公平性问题,解决本题的关键是计算出各种情况的概率,然后比较即可.(2)根据题意可使用列表法求参与者的概率.拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)列表如下:和123412345234563456745678由列表可得P(数字之和为3)=216=18.(2)由(1)知,P(甲胜)=18,P(乙胜)=78.设乙胜一次得分应为x,才使游戏双方公平,由78x=9×18,解得x=97,故乙胜一次得分应为97分,这个游戏对双方才公平.拓展点一拓展点二拓展点三在其他条件相同时,判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.