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章末专题整合专题一专题二专题三专题四专题一圆的有关性质例1如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的点,AC=6cm,BC=8cm,∠ACB的平分线交☉O于点D,求AB和BD的长.分析:在Rt△ABC中,利用勾股定理可以求得AB的长度;由角平分线的性质得到圆周角∠ACD=∠BCD,则,所以AD=BD,故易证△ABD是等腰直角三角形,通过勾股定理来求BD的长度.𝐴𝐷=𝐵𝐷专题一专题二专题三专题四解:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∠ADB=90°.∴AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=62+82=10(cm).∵AC=6cm,BC=8cm,CD是∠ACB的平分线,∴∠ACD=∠BCD,则𝐴𝐷=𝐵𝐷,∴AD=BD,∴BD=22AB=52cm.综上所述,AB和BD的长分别是10cm,52cm.专题一专题二专题三专题四解答图形中有直径的问题,要把直径作为突破口,充分发挥直径的作用,结合勾股定理以及直角三角形等知识进行推理或运算.使问题得以解决.本题根据圆周角、弧、弦的关系证得△ABD是等腰直角三角形是解题的关键.专题一专题二专题三专题四专题二直线与圆的位置关系例2如图,在△ABC中,AB=AC.(1)若O为AB的中点,以O为圆心,OB为半径的圆交BC于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E(如图①),证明:DE是☉O的切线;(2)若点O沿OB向点B移动,以O为圆心,以OB为半径画圆,☉O与AC相切于点F,与AB相交于点G,与BC相交于点D,DE⊥AC,垂足为E(如图②),已知☉O的半径长为3,CE=1,求切线AF的长.图①图②专题一专题二专题三专题四分析:(1)连接OD,证OD⊥DE,得DE与☉O相切;(2)作辅助线,连接OD,AF,由DE,AF是☉O的切线,DE⊥AC,可证四边形ODEF为矩形,根据AB=AC,可得AO=AF+1,故在Rt△AOF中,运用勾股定理可将AF的值求出.解:(1)证明:如图所示,连接OD.∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC.∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.∴DE与☉O相切.专题一专题二专题三专题四(2)由(1)知DE是☉O的切线.连接OD,OF,如图所示.∵DE,AF是☉O的切线,∴OF⊥AC,OD⊥DE.又∵DE⊥AC,∴四边形ODEF为矩形.∴OD=EF=3.设AF=x,则AB=AC=x+3+1=x+4,AO=AB-OB=x+4-3=x+1,∵OF⊥AC,∴AO2=OF2+AF2,即(x+1)2=9+x2,解得x=4,∴AF的长度为4.专题一专题二专题三专题四本题利用了切线的性质与判定,解答这类问题,要先证明直线是圆的切线,然后再利用切线的性质进行分析.专题一专题二专题三专题四专题三与圆有关的计算例1(2015·山西模拟)如图,已知☉O是△ABC的外接圆,AC是直径,∠A=30°,BC=2,点D是AB的中点,连接DO并延长交☉O于点P,过点P作PF⊥AC于点F.(1)求劣弧的长;(结果保留π)(2)求阴影部分的面积.(结果保留π)𝑃𝐶专题一专题二专题三专题四分析:(1)根据垂径定理的推论求得PD⊥AB,然后根据含30°角的直角三角形的性质求得OA=2OD,进而求得OF=12OP,根据三角形中位线的性质求得OD=12BC,从而求得OA=2,然后根据弧长公式即可求得劣弧𝑃𝐶的长;(2)求得OF和PF,然后根据S阴影=S扇形-S△OPF即可求得.专题一专题二专题三专题四解:(1)∵点D是AB的中点,PD经过圆心,∴PD⊥AB.∵∠A=30°,∴∠POC=∠AOD=60°,OA=2OD.∵PF⊥AC,∴∠OPF=30°,∴OF=12OP,∵OA=OC,AD=BD,∴BC=2OD,∴OA=BC=2,∴☉O的半径为2,∴劣弧𝑃𝐶的长=𝑛π𝑟180=60π×2180=23π.(2)∵OF=12OP,∴OF=1,∴PF=𝑂𝑃2-𝑂𝐹2=3,∴S阴影=S扇形-S△OPF=60π×22360−12×1×3=23π-32.专题一专题二专题三专题四本题综合运用了垂径定理的推论、含30°角的直角三角形的性质、三角形的中位线的性质、弧长公式以及扇形的面积公式等,其中求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键.专题一专题二专题三专题四专题四与圆有关的综合题例1如图,已知△ABC内接于☉O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交☉O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连接AD.(1)求证:∠DAC=∠DBA;(2)求证:P是线段AF的中点;(3)连接CD,若CD=3,BD=4,求☉O的半径和DE的长.专题一专题二专题三专题四分析:(1)利用角平分线的性质得出∠CBD=∠DBA,进而得出∠DAC=∠DBA,再利用互余的性质得出∠DAC=∠ADE,进而得出∠DAC=∠DBA;(2)利用圆周角定理的推论得出∠ADB=90°,进而求出∠PDF=∠PFD,则PD=PF,求出PA=PF,即可得出答案;(3)利用勾股定理得出AB的长,再利用三角形面积求出DE即可.专题一专题二专题三专题四(1)证明:∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA,∵∠DAC与∠CBD都是所对的圆周角,∴∠DAC=∠CBD,∴∠DAC=∠DBA;∵AB是☉O的直径,DE⊥AB,∴∠ADB=∠AED=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°,∠DBA+∠DAE=90°,∴∠ADE=∠DBA,∴∠DAC=∠ADE,∴∠DAC=∠DBA.𝐶𝐷专题一专题二专题三专题四(2)证明:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵DE⊥AB于E,∴∠DEB=90°,∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°,∴∠ADE=∠ABD=∠DAP,∴PD=PA.∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°,∴∠PDF=∠PFD,∴PD=PF,∴PA=PF,即P是线段AF的中点.(3)∵∠CBD=∠DBA,∴CD=AD,∵CD=3,∴AD=3,∵∠ADB=90°,∴AB=5,故☉O的半径为2.5.∵DE×AB=AD×BD,∴5DE=3×4,∴DE=2.4,即DE的长为2.4.专题一专题二专题三专题四解答这类综合性问题,需要数形结合,综合运用圆周角定理、勾股定理以及三角形面积等知识,熟练利用圆周角定理得出各等量关系是解题关键.