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24.4弧长和扇形面积知识点一知识点二知识点三知识点一弧长公式半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长l=𝑛π𝑟180.名师解读:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,在计算时,n和180都可以不写单位;(2)若圆心角的单位不全是度,还有别的单位,例如分和秒,一定要把分和秒全部转化为度,再进行计算;(3)在弧长公式l=𝑛π𝑟180中,已知l,n,r中的任意两个量可以求出第三个量,即n=180𝑙π𝑟,r=180𝑙π𝑛;(4)要正确区分弧、弧的度数、弧长这三个概念.度数相等的弧的弧长不一定相等,弧长相等的两段弧也不一定度数相等,当然也不一定是等弧,只有度数和弧长都相等的弧才是等弧.知识点一知识点二知识点三例1一圆弧所对的圆心角为150°,它所对的弧长等于半径为5cm的圆的周长,则该弧所在圆的半径为()A.24cmB.12cmC.6cmD.30cm解析:先用弧长公式表示出弧长,代入相关数据求出r的值即可.由题意得,l=2π×5=10π,则10π=,解得r=12.答案:B150π𝑟180知识点一知识点二知识点三解答这类问题时,一般根据弧长公式直接求解或根据公式变形求解.知识点一知识点二知识点三知识点二扇形的面积公式半径为r的圆中,圆心角为n°的扇形的面积为名师解读:根据扇形的面积公式和弧长公式,已知S扇形,l,n,r四个量中的任意两个,都可以求出另外的两个量.S=𝑛π𝑟2360=𝑛π𝑟180×𝑟2=12lr.知识点一知识点二知识点三例2如果扇形所含的圆心角为150°,弧长为5π,那么扇形的面积是()A.5πB.10πC.15πD.30π答案:C解析:设该扇形的半径为r,则5π=150π𝑟180,解得r=6,则该扇形的面积S=150π×62360=15π.知识点一知识点二知识点三在计算扇形的面积时,要根据情况选用合适的公式,当已知扇形的半径和圆心角时,选用公式S扇形=;当已知扇形的弧长和半径时,选用公式S扇形=lr.𝑛π𝑟236012知识点一知识点二知识点三知识点三圆锥的母线、侧面积和全面积圆锥的母线:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,因此,圆锥的侧面积为πrl,圆锥的全面积为πr(r+l).名师解读:圆锥的全面积也称圆锥的表面积,计算时分别求出侧面积和底面积,然后相加即可.知识点一知识点二知识点三例3已知圆锥的高为4,底面半径为2,求:(1)圆锥的全面积;(2)圆锥侧面展开图的圆心角.分析:(1)首先求得底面周长,即侧面展开图的扇形弧长,然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积,即圆锥的侧面积,再求得圆锥的底面积,侧面积与底面积的和就是全面积.(2)利用弧长公式可得圆锥侧面展开图圆心角的角度,把相关数值代入即可求解.2知识点一知识点二知识点三解:(1)∵圆锥的高为42,底面半径为2,∴圆锥的母线长为6,底面周长是2×2π=4π,则侧面积是12×4π×6=12π,底面积是π×22=4π,则全面积是12π+4π=16π.(2)∵圆锥底面半径是2,∴圆锥的底面周长为4π,设圆锥的侧面展开图的扇形圆心角为n°,𝑛π×6180=4π,解得n=120.圆锥侧面展开图的圆心角为120°.知识点一知识点二知识点三已知圆锥的母线长、底面圆的半径、圆锥侧面展开图的圆心角中的任何两个,都可以求出第三个量,并且可以求圆锥的全面积.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一扇形面积公式的灵活运用例1如图,以四边形ABCD各顶点为圆心,以1为半径画圆,则图形中扇形(阴影)部分的面积之和是()A.2πB.πC.23πD.π2拓展点一拓展点二拓展点三解析:由于四边形内角和为360°,因此图中阴影部分的面积刚好为一个完整的圆的面积.如图所示,∵四边形ABCD中,∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∴S阴影=π×12=π.答案:B拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题的关键是把几个扇形拼成一个完整的图形(圆),然后直接利用圆的面积公式来求,本题也可以利用四个扇形的面积和求解.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二与圆锥侧面积有关的问题例2如图,已知扇形OAB的圆心角为90°,半径为4厘米,用这个扇形卷成圆锥的侧面,求该圆锥的侧面积及圆锥的高.分析:先利用弧长公式和扇形的面积公式计算𝐴𝐵=90π·4180=2π,扇形OAB的面积=90π×42360=4π,利用扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长得到2π·DC=2π,则DC=1,由扇形的半径等于圆锥的母线长得到SC=4,然后利用勾股定理可计算出高SD.拓展点一拓展点二拓展点三解:如图,点D为圆锥底面圆的圆心,∵扇形OAB的圆心角为90°,半径为4厘米,∴𝐴𝐵=90π·4180=2π,扇形OAB的面积=90π×42360=4π,∴2π·DC=2π,∴DC=1.在Rt△SDC中,SC=4,SD=𝑆𝐶2-𝐷𝐶2=42-12=15,∴用这个扇形卷成的圆锥的高为15厘米,圆锥的侧面积为4π厘米2.拓展点一拓展点二拓展点三解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确记忆这两个关系是解题的关键.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三利用弧长公式求运动路线的长例3将边长为8的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动(不滑动),当正方形滚动两周时,正方形的顶点A所经过的路线的长是()A.42π+8πB.82π+16πC.82π+8πD.42π+16π拓展点一拓展点二拓展点三解析:可先计算旋转一周时,正方形的顶点A所经过的路线的长,可以看出是四段弧长,根据弧长公式计算即可.第一次旋转是以点C为圆心,AC为半径,旋转角度是90°,所以弧长=90π×82180=42π;第二次旋转是以点D为圆心,AD为半径,旋转角度是90°,所以弧长=90π×8180;第三次旋转是以点A为圆心,所以没有路程;第四次是以点B为圆心,AB为半径,旋转角度是90°,所以弧长=90π×8180;所以旋转一周顶点A经过的路线长=42π+8π.所以正方形滚动两周正方形的顶点A所经过的路线的长是82π+16π.答案:B拓展点一拓展点二拓展点三正确确定A所经过的路线是解题的关键.