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24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系知识点一知识点二知识点三知识点一点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系:点在圆内、点在圆上、点在圆外.名师解读:确定点与圆的位置关系的方法有两种:一是可用图形上的位置来判断:如图所示,知识点一知识点二知识点三设圆O的半径为r,则有:(1)若点A在圆O的内部,则OAr;(2)若点B在圆O上,则OB=r;(3)若C在圆O的外部,则OCr.反之:(1)若OAr,则点A在圆O的内部;(2)若OB=r,则点B在圆O上;(3)若OCr,则点C在圆O的外部.二是利用数量关系来判断:一般地,如果P是圆所在平面内的一点,d表示点P到圆心O的距离,r表示圆的半径,则有:①点P在☉O上⇔d=r;②点P在☉O内⇔dr;③点P在☉O外⇔dr.知识点一知识点二知识点三例1如图,以点O'(1,1)为圆心,OO'为半径画圆,判断点P(-1,1),点Q(1,0),点R(2,2)和☉O'的位置关系.解:∵OO'=r=12+12=2,O'P=(-1-1)2+(1-1)2=2,同理可得O'Q=1,O'R=2,∴O'Pr,点P在☉O'外;O'Qr,点Q在☉O'内;O'R=r,点R在☉O'上.知识点一知识点二知识点三要确定点与圆的位置关系,主要确定点与圆心的距离(d)与半径(r)的大小关系;根据它们之间的对应关系确定即可.知识点一知识点二知识点三知识点二不在同一条直线上的三点确定圆不在同一条直线上的三点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.名师解读:(1)一个三角形有且只有一个外接圆,而一个圆可以有无数多个内接三角形.(2)三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,都等于三角形外接圆的半径.知识点一知识点二知识点三例2三角形外心具有的性质是()A.到三个顶点距离相等B.到三边距离相等C.外心必在三角形外D.到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍解析:∵三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点,线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,∴外心到三个顶点距离相等.答案:A知识点一知识点二知识点三理解三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点是解答的关键.知识点一知识点二知识点三知识点三反证法假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.名师解读:用反证法证明命题的一般步骤:(1)否定结论——假设命题的结论不成立;(2)推出矛盾——从假设出发,根据已知条件,经过推理论证,得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等相矛盾的结果;(3)肯定结论——由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.知识点一知识点二知识点三例3用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设()A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45°答案:D知识点一知识点二知识点三(1)使用反证法的前提是直接证法比较“困难”.(2)解答问题的关键是第一步“假设”,在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如:“都是”的否定是“不都是”,大于的否定是“不大于”即“小于等于”等等.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一圆的存在性与点和圆的位置关系例1A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,下列说法正确的是()A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆上B.可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外C.可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆外D.可以画一个圆,使B,C在圆上,A在圆内解析:∵A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,∴AB+BC=AC,则B是线段AC的中点,∴可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外.答案:B拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二几何图形上的点与圆的位置关系例2在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,☉A的半径为r,若B,D在☉A内,C在☉A外,则r的取值范围是()A.3r4B.3r5C.4r5D.r4拓展点一拓展点二拓展点三解析:如图所示,要想矩形的顶点B,D在☉A内,C在☉A外,r必须大于AD,且小于AC,而AD=4,AC==5,所以r的范围为4r5.答案:C32+42拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题抓住点到圆心的距离与圆半径的大小关系,数形结合,根据已知得出r与各边长的关系是解题关键.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与外接圆有关的综合题例3在等腰△ABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,求等腰△ABC外接圆的半径.分析:设O为△ABC外接圆的圆心,连接AO,并延长AO交BC于D,连接OB,OC,得出AD⊥BC,BD=DC,根据勾股定理求出AD,设出等腰△ABC外接圆的半径,在Rt△OBD中,由勾股定理得出OB2=OD2+BD2,代入求出即可.拓展点一拓展点二拓展点三解:如图所示,设O为△ABC外接圆的圆心,连接AO,并延长AO交BC于D,连接OB,OC.∵AB=AC,O为△ABC外接圆的圆心,∴AD⊥BC,BD=DC(三线合一),BD=DC=12BC=5.设等腰△ABC外接圆的半径为R,则OA=OB=OC=R.在Rt△ABD中,由勾股定理得AD=𝐴𝐵2-𝐵𝐷2=132-52=12,在Rt△OBD中,由勾股定理得OB2=OD2+BD2,即R2=(12-R)2+52,R=16924,即等腰△ABC外接圆的半径为16924.拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,关键是通过作辅助线,利用外接圆的性质和等腰三角形的性质进行分析.由于是等腰三角形,容易想到过A作AD垂直于BC交于点D,此时需要说明圆心O在AD上,否则错误.