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24.1.3弧、弦、圆心角知识点一知识点二知识点三知识点一圆的旋转对称性旋转对称图形:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与原图形重合的图形.圆是中心对称图形,对称中心是圆心.不仅如此,把圆绕圆心旋转任意角度,所得的图形都与原图形重合(旋转对称性).名师解读:由前面所学知识可知圆的对称性包括轴对称性、中心对称性和旋转对称性,圆的很多性质都是由它们得出的,其中旋转对称性也是车轮做成圆形的原因.知识点一知识点二知识点三例1下列图形中既是轴对称图形,又是旋转对称图形的是()A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④解析:先根据图形确定是否为轴对称图形,在是轴对称图形的基础上再看是否绕中心旋转任意角度能与原图形重合:①不是轴对称图形,是旋转对称图形;②是轴对称图形,是旋转对称图形;③是轴对称图形,是旋转对称图形;④是轴对称图形,是旋转对称图形.答案:C知识点一知识点二知识点三解答这类问题,可以简单地认为是“找对称轴”和“旋转中心”,先确定是其中一种具有特质的图形,再看是否具备另一种图形的特质.知识点一知识点二知识点三知识点二圆心角的定义顶点在圆心的角叫做圆心角.名师解读:理解圆心角时注意:(1)只要角的顶点在圆心,这样的角就是圆心角.(2)由于圆周的所对的圆心角为1°,圆周的叫做1°的弧,所以圆心角的度数等于它所对的弧的度数.13601360知识点一知识点二知识点三例2一弧长是所在圆周长的35,那么该弧所对圆心角为()A.136°B.150°C.216°D.250°解析:由于一弧长是所在圆周长的35,那么该弧所对圆心角为360°×35=216°.所以该弧所对圆心角为216°.答案:C知识点一知识点二知识点三解答这类问题,本质就是根据分数乘法的意义求周角的几分之几.知识点一知识点二知识点三知识点三弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等.定理可表示为:知识点一知识点二知识点三如图所示,(1)若∠AOB=∠COD,则有AB=CD,𝐴𝐵=𝐶𝐷;(2)若AB=CD,则有∠AOB=∠COD,𝐴𝐵=𝐶𝐷;(3)若𝐴𝐵=𝐶𝐷,则有AB=CD,∠AOB=∠COD.注意:上述结论在等圆中也成立.知识点一知识点二知识点三名师解读:(1)圆心角、弧、弦三者关系理解为:①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,即三项“知一推二”,一项相等,其余两项皆相等.其正确性源于圆的旋转不变性.即:圆绕其圆心旋转任意角度,所得图形与原图形完全重合.(2)注意应用此关系的前提条件是在同圆或等圆中,没有前提条件,所得的结论不一定成立.(3)注意应用此关系可以证明角相等,线段相等,弧相等.知识点一知识点二知识点三例3如图所示,AB,CD是☉O的两条直径,弦BE=BD,则𝐴𝐶与𝐵𝐸是否相等?为什么?分析:𝐴𝐶与𝐵𝐸相等,理由为:由AB,CD为圆的直径,利用对顶角相等得到一对圆心角相等,利用等角对等弧得到𝐴𝐶与𝐵𝐷相等,再由BE=BD,利用等弦对等劣弧,得到𝐵𝐸与𝐵𝐷相等,等量代换即可得证.解:𝐴𝐶与𝐵𝐸相等,理由为:∵AB,CD为圆的直径,∴∠AOC=∠BOD,∴𝐴𝐶=𝐵𝐷,∵BE=BD,∴𝐵𝐸=𝐵𝐷,则𝐴𝐶=𝐵𝐸.知识点一知识点二知识点三在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.所以解答这类问题,只要说明其中一组量相等即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一弧、弦、圆心角之间的关系的灵活运用例1如图,弦CD=EF,请至少找出图中5对具有相等关系的量.分析:根据圆心角、弧、弦的关系进行推理,逐步得到所需答案.解:∵弦CD=EF,∴𝐶𝐷=𝐸𝐹,∴𝐷𝐸=𝐹𝐶,∠CAD=∠EAF,∴∠EAD=∠CAF.∵AC=AD=AE=AF,又CD=EF,∴△ACD≌△AEF(SAS).∴∠E=∠D=∠C=∠F.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二与弧、弦、圆心角之间的关系有关的计算题例2如图,在△AOB中,AO=AB,以点O为圆心,OB为半径的圆交AB于点D,交AO于点E,AD=OB.试说明,并求∠A的度数.𝐵𝐷=𝐷𝐸分析:设∠A=x,由AD=OB,得DO=DA,所以有∠DOA=x,根据三角形外角性质得∠BDO=2x,因此∠B=2x,由AO=AB,得到∠BOE=∠B=2x,得到∠BOD=2x-x=x=∠DOE,所以𝐵𝐷=𝐷𝐸.在△OBD中,利用三角形的内角和定理即可求出x.拓展点一拓展点二拓展点三解:连接OD,如图所示,设∠A=x,∵AD=OB,∴DO=DA,∴∠DOA=x,∴∠BDO=2x,∴∠B=2x,又∵AO=AB,∴∠BOE=∠B=2x,∴∠BOD=2x-x=x=∠DOE,∴.在△OBD中,x+2x+2x=180°,∴x=36°,即∠A=36°.𝐵𝐷=𝐷𝐸拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与弧、弦、圆心角之间的关系有关的证明题例3如图,已知BD,CE是☉O的两条弦,OA平分∠DAE.求证:AB=AC.分析:作OM⊥BD于M,ON⊥CE于N,根据角平分线的性质得到OM=ON,根据圆心角、弧、弦之间的关系得到BD=CE,证明△AMO≌△ANO,得到AM=AN,得到答案.拓展点一拓展点二拓展点三证明:作OM⊥BD于M,ON⊥CE于N,∵OA平分∠DAE,∴OM=ON,∴BD=CE.∵OM⊥BD,ON⊥CE,∴△AMO≌△ANO,∴AM=AN,∴AB=AC.∴MB=12DB,NC=12CE,∴MB=NC.在△AMO和△ANO中,∠𝐴𝑀𝑂=∠𝐴𝑁𝑂,∠𝑀𝐴𝑂=∠𝑁𝐴𝑂,𝑂𝐴=𝑂𝐴,拓展点一拓展点二拓展点三在圆中证明两条弦相等,一般通过证明两条弦所对应的弧相等来证明.