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24.1.2垂直于弦的直径知识点一知识点二知识点一圆的轴对称性圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.名师解读:不能错误地说成“圆的任何一条直径都是圆的对称轴”,因为对称轴一定是直线,而圆的直径是线段.例1下列交通标志中,是轴对称图形的是()知识点一知识点二解析:这些标志都是由圆和其他图形组成的,由于圆是轴对称图形,且对称轴是过圆心的直线,所以,只要与圆组合的图形是轴对称图形并且对称轴也过圆心即可,依次判断:A,不是轴对称图形,故本选项错误;B,是轴对称图形,故本选项正确;C,不是轴对称图形,故本选项错误;D,不是轴对称图形,故本选项错误.答案:B知识点一知识点二解答这类问题,既可以采取折叠的方法判断,也可以根据圆和与其组合图形是否有共同的对称轴进行判断.知识点一知识点二知识点二垂径定理及其推论垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.名师解读:理解垂径定理可以从以下几个方面:(1)这类的垂“径”,可以是直径、半径或过圆心的直线或线段,其本质只要过圆心即可;(2)垂径定理中的“弦”可以是直径,是直径时,结论仍然成立;(3)垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,也是计算圆中求线段的长度、求圆的半径、求角的度数的重要依据;(4)结合圆的对称性可以得出,弦的垂直平分线经过圆心,这也是找圆的圆心的重要方法.知识点一知识点二例2如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,∠BCD=30°,下列结论:①AE=BE;②OE=DE;③AB=BC;④BE=DE.其中正确的是()A.①B.①②③C.①③D.①②③④3知识点一知识点二解析:根据垂径定理以及等边三角形的性质和判定定理即可作出判断.∵CD是☉O的直径,AB⊥CD,∴AE=BE,故①正确.∵∠BCD=30°,∴∠BOD=60°.又∵OB=OD,∴△OBD是等边三角形.∵AB⊥CD,∴OE=DE,BE=DE,故②④正确.∵∠ACB=2∠BCD=60°,又∵AC=BC,∴△ABC是等边三角形.∴AB=BC,故③正确.答案:D3知识点一知识点二解答这类问题,首先要利用垂径定理得出相关结论,然后在结论的基础上进行推理,在进一步得出更多结论后,分别判断各个结论是否正确.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一垂径定理的实际应用例1如图,有一拱桥呈圆弧形,它的跨度(所对弦长AB)为60m,拱高18m,当水面涨至其跨度只有30m时,就要采取紧急措施.某次洪水来到时,拱顶离水面只有4m,问:是否要采取紧急措施?并说明理由.拓展点一拓展点二拓展点三分析:如图,设圆的半径是Rm,则ON=(R-4)m,OM=(R-18)m.根据垂径定理求得AM的长,在Rt△AOM中,根据勾股定理求得R的值,在Rt△A'ON中,根据勾股定理求得A'N的值,再根据垂径定理求得A'B'的长,从而作出判断.解:如图,设圆的半径是Rm,则ON=(R-4)m,OM=(R-18)m.根据垂径定理,得AM=AB=30m,在Rt△AOM中,AO2=OM2+AM2,即R2=(R-18)2+900,解得R=34.在Rt△A'ON中,根据勾股定理得,根据垂径定理,得A'B'=2A'N=3230.∴不用采取紧急措施.A'N=342-302=16m12拓展点一拓展点二拓展点三解答这类实际问题,首先弄懂题意,把实际问题转化为数学问题,然后利用垂径定理和勾股定理相结合,构造出直角三角形,进而可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二利用垂径定理确定圆心的坐标例2如图所示,半径为5的☉P与y轴相交于M(0,-4),N(0,-10)两点,则圆心P的坐标为()A.(5,-4)B.(4,-5)C.(4,-7)D.(5,-7)拓展点一拓展点二拓展点三解析:∵M(0,-4),N(0,-10),∴MN=6.连接PM,过点P作PE⊥MN于E,∴ME=NE=12MN=3,∴OE=OM+EM=4+3=7.在Rt△PEM中,PE=𝑃𝑀2-𝑀𝐸2=52-32=4,∴圆心P的坐标为(4,-7).答案:C拓展点一拓展点二拓展点三解答这类找圆心的问题,注意数形结合,综合运用垂径定理,勾股定理等知识进行分析计算,明确弦的垂直平分线经过圆心是关键.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与垂径定理有关的综合题例3在☉O中,☉O的直径为26,弦AB∥弦CD,AB=10,CD=24,求AB与CD间的距离.拓展点一拓展点二拓展点三分析:作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,连接OA,OC,由垂径定理得,由于AB∥CD,易得E,O,F三点共线,在Rt△AOE和Rt△OCF中,利用勾股定理分别计算出OE与OF,然后分类讨论:当圆心O在弦AB与CD之间时,AB与CD的距离=OE+OF;当圆心O在弦A'B'与CD的外部时,AB与CD的距离=OE-OF.AE=12AB=5,CF=12CD=12拓展点一拓展点二拓展点三解:如图,作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,连接OA,OC,OA=OC=13,则∵AB∥CD,∴E,O,F三点共线,当圆心O在弦AB与CD之间时,AB与CD间的距离=OE+OF=12+5=17;当圆心O在弦A'B'与CD的外部时,A'B'与CD间的距离=OE-OF=12-5=7.所以AB与CD间的距离是17或7.AE=12AB=5,CF=12CD=12.在Rt△COF中,OF=𝑂𝐶2-𝐶𝐹2=132-122=5,在Rt△AOE中,OE=𝑂𝐴2-𝐴𝐸2=132-52=12,拓展点一拓展点二拓展点三解答圆的有关问题,当圆心或弦之间的位置关系没有明确时,注意要分类讨论,以免漏解.