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章末专题整合专题一专题二专题三专题四专题一旋转及旋转作图例1如图,△OAB是边长为2的等边三角形.(1)写出△OAB各顶点的坐标;(2)以点O为旋转中心,将△OAB按顺时针方向旋转60°,得到△OA'B',写出点A',B'的坐标.专题一专题二专题三专题四分析:(1)作BC⊥x轴于C,如图,根据等边三角形的性质得OA=OB=2,AC=OC=1,则易得A点坐标和O点坐标,再利用勾股定理计算出BC=,然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标;(2)由旋转的性质得∠AOA'=∠BOB'=60°,OA=OB=OA'=OB',则点A'与点B重合,于是可得点A'的坐标为(-1,),再说明点B与点B'关于y轴对称,于是可得到点B'的坐标.33专题一专题二专题三专题四解:(1)作BC⊥x轴于C,如图所示,∵△OAB是边长为2的等边三角形,∴OA=OB=2,AC=OC=1,∴A点坐标为(-2,0),O点坐标为(0,0),在Rt△BOC中,BC=22-12=3,∴B点坐标为(-1,3).专题一专题二专题三专题四(2)∵△OAB按顺时针方向旋转60°,得到△OA'B',∴∠AOA'=∠BOB'=60°,OA=OB=OA'=OB',∴点A'与点B重合,即点A'的坐标为(-1,),∵BO与y轴的正半轴的夹角为30°,而∠BOB'=60°,OB=OB',∴点B与点B'关于y轴对称,∴点B'的坐标为(1,).33专题一专题二专题三专题四图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°;解决本题的关键是正确理解题目,按题目的叙述一定要把各点的大致位置找准确,正确地作出图形.专题一专题二专题三专题四专题二中心对称及中心对称图形例2如图,△ABC的三个顶点都在格点上,每个小方格边长均为1个单位长度,建立如图坐标系.(1)请你作出△ABC关于点A成中心对称的△AB1C1(其中B的对称点是B1,C的对称点是C1),并写出点B1,C1的坐标.(2)连接BC1,B1C.猜想四边形BC1B1C是什么特殊四边形,并说明理由.专题一专题二专题三专题四分析:(1)根据网格结构找出点B1,C1的位置,然后顺次连接即可,再根据平面直角坐标系写出点B1,C1的坐标即可;(2)根据中心对称的性质解答.解:(1)△AB1C1如图所示,专题一专题二专题三专题四B1的坐标为(2,0),C1的坐标为(5,-3).(2)四边形BC1B1C是平行四边形.理由:由中心对称的性质可知,BA=B1A,CA=C1A,∴四边形BC1B1C是平行四边形.专题一专题二专题三专题四本题考查了利用旋转变换作图,熟记网格结构、准确找出对应点的位置是解题的关键.专题一专题二专题三专题四专题三网格中的旋转和中心对称例3如图,四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(6,4),B(3,7),C(0,4),D(3,1).(1)求四边形ABCD的面积;(2)如果四边形ABCD绕点C旋转180°,试确定旋转后四边形A'B'CD'各个顶点的坐标;(3)请你重新设计适当的坐标系,使得四边形ABCD上各点的纵坐标不变,横坐标乘以-1后,所得图形与原图形重合.专题一专题二专题三专题四分析:(1)根据对角线互相垂直的四边形ABCD的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解;(2)根据中心对称的性质,求出点A,B,C,D关于点C的对称点的坐标即可;(3)以四边形ABCD对角线的交点为原点,两对角线所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系.专题一专题二专题三专题四解:(1)由图可知四边形ABCD的对角线互相垂直,并且长都是6,所以四边形ABCD的面积=×6×6=18.(2)A'(-6,4),B'(-3,1),C(0,4),D'(-3,7).(3)如图所示,以四边形ABCD对角线的交点为原点,两对角线所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系.12专题一专题二专题三专题四解答这类问题,要注意综合运用对称点的坐标特征、网格的特征、勾股定理、三角形的面积等知识进行综合分析,找出思路.专题一专题二专题三专题四专题四与旋转有关的综合题例4如图,正方形ABCD中,E,F分别是AD,CD边上的两点,BF平分∠EBC.求证:BE=AE+CF.专题一专题二专题三专题四分析:四边形ABCD是正方形,AB=BC,∠A=∠C=90°,把△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAG的位置,如图,此时AG=CF,只需再证BE=GE即可,由于∠CBF=∠FBE=∠GBA,所以∠GBE=∠ABF=∠BFC=∠G,因而BE=GE.专题一专题二专题三专题四证明:将△BFC绕点B逆时针旋转90°到△BAG的位置,则有△BFC≌△BGA,AG=FC,∠G=∠BFC,∠FBC=∠ABG.∵AB∥CD,∴∠BFC=∠ABF=∠EBF+∠ABE.∵BF平分∠EBC,∴∠FBC=∠FBE=∠ABG,∴∠EBG=∠ABE+∠ABG=∠ABE+∠EBF=∠ABF=∠BFC=∠G.∴GE=BE,即AG+AE=BE,∴AE+CF=BE.专题一专题二专题三专题四本题将△BCF绕点B进行旋转变换,使线段CF与AE巧妙拼接,并与BE组成三角形,从而利用等腰三角形的知识进行证明.