搜索
第二十三章旋转23.1图形的旋转知识点一知识点二知识点三知识点一旋转的相关概念把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点.知识点一知识点二知识点三名师解读:可以这样理解和识别旋转的相关概念:(1)旋转中心:旋转中心可以是平面内的任意一点.注意:旋转中心是点,而不是直线,如生活中的开门、关门,虽然门转动了,但它是绕轴旋转一定的角度,所以它不属于我们要研究的绕定点旋转.(2)旋转角:因为经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,所以任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.(3)旋转方向:旋转方向通常是指顺时针旋转或逆时针旋转.这三个方面构成的旋转的三要素,三者缺一不可.知识点一知识点二知识点三例1如图所示,△AOB绕点O按顺时针方向旋转得到△COD,当OA⊥OC时,在这个旋转过程中,旋转中心是什么?旋转角是多少度?并指出各对对应点.分析:由于绕点O旋转,易确定点O为旋转中心;由OA⊥OC,所以确定旋转角为90°;有了旋转中心和旋转角,再根据旋转的三要素确定对应点.知识点一知识点二知识点三解:旋转中心是点O;旋转角是∠AOC(或∠BOD),等于90°;A和C,B和D分别是对应点,点O的对应点是它本身.识别旋转中心、旋转方向、旋转角时,先确定旋转中心,再抓住图形的性质确定旋转方向和旋转角.知识点一知识点二知识点三知识点二旋转的性质旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前、后的图形全等.名师解读:我们可以这样理解旋转的性质:(1)经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,对应点的排列次序相同;(2)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角;(3)对应点到旋转中心的距离相等;(4)对应线段相等,对应角相等.知识点一知识点二知识点三例2如图,将△ABC绕点A旋转到△AB1C1,下列说法正确的个数有()(1)AC=AB;(2)BC=B1C1;(3)∠BAC=∠B1AC1;(4)∠CAC1=∠BAB1.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据旋转的性质,可知AC=AC1,故(1)错误;BC=B1C1,故(2)正确;∠BAC=∠B1AC1,故(3)正确;在(3)的基础上,结合等式的性质,得∠CAC1=∠BAB1,故(4)正确.答案:C知识点一知识点二知识点三解答这类问题,抓住旋转前后的两个图形是全等形是关键.知识点一知识点二知识点三知识点三旋转作图进行旋转作图时可按照下列步骤进行:(1)在已知图形上找一些关键点(如三角形的三个顶点).(2)作出这些关键点的对应点,对应点的作法是:①将各关键点与旋转中心连接;②以旋转中心为顶点,以上述连线为一边,向旋转方向作角,使这些角都等于旋转角,且使另一边的长度都等于关键点到旋转中心的长度,则这些“另一边的端点就是对应点”.(3)顺次连接这些对应点.知识点一知识点二知识点三名师解读:根据旋转的性质可知,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,对应线段相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.知识点一知识点二知识点三例3如图,△ABC绕O点旋转后,顶点B的对应点为E,试确定顶点A,C旋转后对应点位置,以及旋转后的三角形位置.分析:连接BO,OE,则∠BOE就是旋转角,点E就是B点旋转后的对应点,作∠BOE=∠AOF,且OF=OA,点F就是A点旋转后的对应点,则按照此方法可找到C的对应点G.顺次连接各点,即可得到旋转后的三角形.知识点一知识点二知识点三解:如图所示.知识点一知识点二知识点三作一个图形的旋转后的图形,先确定旋转中心和旋转角,然后分别作出各个关键点(如:线段的端点、三角形和四边形的顶点、图形的拐点、公共点等)的对应点,最后按照原有顺序连接各点即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一旋转性质的运用例1下列图中,已知等边三角形ABC和等边三角形DBC有公共的底边BC.(1)以图1中的某个点为旋转中心,旋转△DBC,使它与△ABC重合,则旋转中心有哪些点?(写出所有满足条件的点)(2)如图2,已知B1是BC的中点,现沿着由B到B1的方向,将△DBC平移到△D1B1C1的位置,如图3,连接AC1,BD1得到的四边形ABD1C1是什么特殊四边形?说明你的理由.拓展点一拓展点二拓展点三分析:(1)根据等边三角形的性质,得到四边形ABDC是菱形,从而再根据菱形是中心对称图形,得到旋转中心有B点、C点、BC的中点;(2)根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断.解:(1)∵等边三角形ABC和等边三角形DBC有公共的底边BC,∴AB=AC=CD=BD,∴四边形ABDC是菱形.∴要旋转△DBC,使△DBC与△ABC重合,旋转中心有三点,分别为:B点、C点、BC的中点.(2)四边形ABD1C1是平行四边形.理由如下:根据平移的性质,得到BB1=CC1,根据等边三角形的性质,得到AC=B1D1,∠BB1D1=∠ACC1,∴△BB1D1≌△C1CA,∴AC1=BD1,又AB=C1D1,∴四边形ABD1C1是平行四边形.拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,在理解旋转的性质的基础上,抓住旋转前后图形中的“变”与“不变”,然后与其他相关知识结合,进行综合分析.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二坐标系中的旋转作图例2△ABC三个顶点A,B,C在平面直角坐标系中位置如图所示.(1)将△ABC向右平移3个单位,画出平移后的△A1B1C1;(2)将△ABC绕C点顺时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C,并写出A2的坐标.拓展点一拓展点二拓展点三分析:(1)把△ABC的各顶点向右平移3个单位长度,顺次连接得到的各点即为平移后的三角形;(2)以点C为旋转中心,把A,B两点顺时针旋转90°,得点A2,B2,顺次连接点A2,B2,C即可得到旋转后的图形,根据点A2所在象限及距离原点的水平距离和竖直距离可得相应坐标.拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)如图所示.(2)如图所示,从图形可得A2的坐标为(8,3).拓展点一拓展点二拓展点三图形的平移或旋转要归结为图形关键点(顶点)的平移或旋转,在坐标系中的平移和旋转,只需在坐标系或网格中,利用坐标系或网格的特点,作出这些关键点的对应点,按照原有的顺序连接即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与旋转有关的综合题例3如图,在正方形ABCD中作∠EAF=45°,分别交边BC,CD于点E,F(不与顶点重合),把△ABE绕点A逆时针旋转90°,落在△ADG的位置.(1)请你在图中画出△ADG(不写作法);(2)试说明线段BE,DF与EF之间存在怎样的数量关系.拓展点一拓展点二拓展点三分析:(1)过A作AE的垂线,与CD的延长线的交点就是G,据此即可作出;(2)根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE,则GF=BE+DF,只要再证明△AFG≌△AFE即可.解:(1)作图如下.拓展点一拓展点二拓展点三(2)BE+DF=EF.证明:∵△ADG≌△ABE,∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE.又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°,∴∠GAF=∠FAE.∴△AFG≌△AFE(SAS).∴GF=EF.又∵DG=BE,∴GF=BE+DF,∴BE+DF=EF.∵在△GAF和△FAE中,𝐴𝐺=𝐴𝐸,∠𝐺𝐴𝐹=∠𝐹𝐴𝐸,𝐴𝐹=𝐴𝐹.拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,可以在画好图形后利用测量的方法进行初步的推测,然后分析图形的变化,找出图形中的全等形,最后验证并推出所发现的结论.