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22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质知识点一知识点二知识点三知识点一二次函数一般式与顶点式的互化一般地,y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式,即因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y=a𝑥+𝑏2𝑎2+4𝑎𝑐-𝑏24𝑎.x=-𝑏2𝑎,顶点是-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎.知识点一知识点二知识点三名师解读:利用配方法把二次函数的一般式化成顶点式如下:y=ax2+bx+c=a𝑥2+𝑏𝑎𝑥+c=a𝑥2+𝑏𝑎𝑥+𝑏2𝑎2-𝑏2𝑎2+c=a𝑥+𝑏2𝑎2-𝑏24𝑎2+c=a𝑥+𝑏2𝑎2−𝑏24𝑎+c=a𝑥+𝑏2𝑎2+4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,即y=ax2+bx+c(一般式)可以配方成y=a𝑥+𝑏2𝑎2+4𝑎𝑐-𝑏24𝑎(顶点式).由以上可以得出:确定二次函数的顶点,可以先配方,配成顶点式后,由顶点式y=a(x-h)2+k,直接得出顶点为(h,k),也可以直接根据顶点的公式得出顶点为-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎.知识点一知识点二知识点三例1求下列抛物线的对称轴和顶点坐标,并指出它们的开口方向.(1)y=x2-2x+8;(2)y=-5x2+3x-2.分析:(1)由于一次项系数的绝对值是二次项系数的偶数倍,所以可以考虑利用配方法确定抛物线的顶点坐标、对称轴;根据a0,抛物线开口向上,a0,抛物线开口向下,可得答案;(2)由于一次项系数的绝对值不是二次项系数的偶数倍,且二次项系数也不为“1”,所以可根据抛物线顶点坐标公式求出顶点坐标、对称轴;根据a0,抛物线开口向上,a0,抛物线开口向下,可得答案.知识点一知识点二知识点三解:(1)∵y=x2-2x+8=(x-1)2+7,∴顶点坐标是(1,7),对称轴是x=1,∵a=10,∴抛物线开口向上.(2)∵y=-5x2+3x-2,∴-𝑏2𝑎=310,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎=4×(-5)×(-2)-324×(-5)=-3120,∴顶点坐标是310,-3120,对称轴是x=310,∵a=-50,∴抛物线开口向下.知识点一知识点二知识点三确定抛物线的顶点坐标和对称轴时,既可以利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c配成顶点式y=a(x-h)2+k,利用顶点式直接写出,也可以利用顶点的坐标公式直接求解.当所给的二次函数的一次项系数的绝对值是二次项系数的绝对值的偶数倍时,多利用顶点式;当二者之间不是偶数倍时,通常利用顶点的坐标公式求解.知识点一知识点二知识点三知识点二二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质从y=ax2+bx+c的图象可以看出:如果a0,当x-𝑏2𝑎时,y随x的增大而减小,当x-𝑏2𝑎时,y随x的增大而增大;如果a0,当x-𝑏2𝑎时,y随x的增大而增大,当x-𝑏2𝑎时,y随x的增大而减小.知识点一知识点二知识点三名师解读:理解二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质可借助下面的表格.a的符号a0a0图象开口方向向上向下对称轴直线x=-b2a直线x=-b2a顶点坐标-b2a,4ac-b24a-b2a,4ac-b24a知识点一知识点二知识点三a的符号a0a0增减性当x-b2a时,y随x的增大而减小;当x-b2a时,y随x的增大而增大当x-b2a时,y随x的增大而增大;当x-b2a时,y随x的增大而减小最值当x=-b2a时,y最小值=4ac-b24a当x=-b2a时,y最大值=4ac-b24a知识点一知识点二知识点三例2已知函数y=-x2+2x+1,解答下列问题:(1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标及对称轴;(2)作出函数的图象,并观察图象,写出x为何值时,y随x的增大而增大,x为何值时,y随x的增大而减小;(3)函数的最值是多少?分析:(1)利用配方法配方成二次函数的顶点式后即可确定其开口方向、顶点坐标及对称轴;(2)根据其顶点坐标、与坐标轴的交点情况确定二次函数的草图,然后确定其增减性即可;(3)直接根据二次函数的图象说出其最值即可.12知识点一知识点二知识点三解:(1)∵y=-12x2+2x+1=-12(x2-4x+4)+3=-12(x-2)2+3,∴抛物线的开口向下,顶点为(2,3),对称轴为x=2.(2)令x=0得到y=1,故抛物线与y轴交于点(0,1);作出函数的图象如图所示.由图象可知,当x2时,y随着x的增大而增大;当x2时,y随着x增大而减小.(3)由图象开口向下知函数有最大值,最大值是3.知识点一知识点二知识点三解答这类问题时,通常先把一般式化成顶点式,根据顶点式回答,尤其是当一次项系数的绝对值是二次项系数的绝对值的偶数倍时,配方成顶点式往往是最为简便的方法.知识点一知识点二知识点三知识点三二次函数y=ax2+bx+c解析式的确定求二次函数的解析式y=ax2+bx+c的基本方法是待定系数法,根据已知条件的不同,常将二次函数的解析式设为如下两种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c;(2)顶点式:y=a(x-h)2+k.名师解读:求二次函数解析式的实质是确定三个系数的值,因此需要三个独立的已知条件.当已知抛物线上任意三点的坐标(或函数的三对对应值)时,可选用一般式;当已知抛物线的顶点坐标和另外一个条件时,常用顶点式.知识点一知识点二知识点三例3已知二次函数图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,-6),求此二次函数的解析式.分析:根据已知条件中的顶点坐标,可以把二次函数的解析式设为顶点式,再进一步把(1,-6)代入求解即可.解:设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.∵函数图象的顶点坐标为(-2,3),且过点(1,-6),∴h=-2,k=3,-6=a(1+2)2+3,解得a=-1.∴二次函数的解析式为y=-(x+2)2+3.知识点一知识点二知识点三如果已知抛物线的顶点坐标(或可以根据条件容易得出顶点坐标)时,可以选择设为顶点式的方法进行计算.知识点一知识点二知识点三例4已知一个二次函数的图象过点(2,0),(0,-2)和(-2,3),求这个二次函数的解析式.分析:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将(2,0),(0,-2),(-2,3)三点坐标代入求得a,b,c的值即可.解:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将(2,0),(0,-2),(-2,3)三点坐标代入,得4𝑎+2𝑏+𝑐=0,𝑐=-2,4𝑎-2𝑏+𝑐=3,解方程组得𝑎=78,𝑏=-34,𝑐=-2,∴这个二次函数的解析式为y=78x2-34x-2.知识点一知识点二知识点三当已知条件是抛物线上三个点的坐标或函数的三对对应值时,可设出一般式,通过列方程组求二次函数的解析式.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一根据二次函数y=ax2+bx+c的图象确定a,b,c的符号例1如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,则下列结论正确的是()A.a0,b0,c0B.a0,b0,c0C.a0,b0,c0D.a0,b0,c0解析:∵抛物线开口向下,∴a0.∵对称轴在y轴的右侧,∴x=-0,∴b0.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c0.答案:B𝑏2𝑎拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,根据图象的开口方向确定a的符号,利用抛物线与y轴的位置确定c的符号,利用对称轴的位置结合a的符号确定b的符号,可以简记为“左同右异”,即对称轴(或顶点)在y轴的左侧时,b与a的符号一致,在y轴的右侧时,b与a的符号相反,如果顶点在y轴上,则b=0.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二根据二次函数y=ax2+bx+c的性质求字母的值例2已知抛物线y=x2+kx+k+3,根据下面的条件,求k的值.(1)抛物线的顶点在y轴上;(2)抛物线的顶点在x轴上;(3)抛物线经过原点;(4)抛物线的对称轴为x=-3.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析:根据二次函数的顶点坐标公式解答即可.(1)抛物线的顶点在y轴上,即x=-𝑘2=0,解之即可;(2)抛物线的顶点在x轴上,即4(𝑘+3)-𝑘24=0,解之即可;(3)抛物线经过原点,即k+3=0,解之即可;(4)抛物线的对称轴为x=-3,即x=-𝑘2=-3,解之即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:(1)抛物线的顶点在y轴上,即x=-𝑘2=0,解得k=0.(2)抛物线的顶点在x轴上,即4(𝑘+3)-𝑘24=0,解得k=-2或k=6.(3)抛物线经过原点,即k+3=0,解得k=-3.(4)抛物线的对称轴为x=-3,即x=-𝑘2=-3,解得k=6.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,应根据题目的要求和二次函数的性质,得出关于未知字母相应的方程或方程组,通过解方程或方程组求解.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三用待定系数法确定二次函数的解析式例3抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,-1),B(1,3)两点,求抛物线的解析式.分析:把点A(-1,-1),B(1,3)分别代入y=x2+bx+c得到关于b与c的方程组,然后解方程组求出b,c即可.解:把点A(-1,-1),B(1,3)分别代入y=x2+bx+c得,1-𝑏+𝑐=-1,1+𝑏+𝑐=3,解得𝑏=2,𝑐=0,∴抛物线解析式为y=x2+2x.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四利用待定系数法求二次函数的解析式时,如果已知三个条件,通常列三元一次方程组求解,如果a,b,c中其中一个已知,则列二元一次方程组求解.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四与二次函数y=ax2+bx+c有关的综合题例4如图,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(-1,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)求梯形COBD的面积.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析:(1)将A点坐标代入抛物线解析式,求出a的值,即可确定出解析式;(2)在抛物线解析式中令x=0求出y的值,即OC的长,根据对称轴求出CD的长,根据抛物线的对称性确定出OB的长,利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积.解:(1)将A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4中,得0=4a+4,解得a=-1,则抛物线解析式为y=-(x-1)2+4.(2)对于抛物线解析式,令x=0,得y=3,即OC=3,∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴为直线x=1,∴CD=1.∵A(-1,0),∴B(3,0),即OB=3,则S梯形COBD=(1+3)×3=6.12拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,先确定二次函数的解析式,然后利用二次函数的解析式确定关键点,最后根据要求得出所需结论.