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22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质知识点一知识点二知识点三知识点一二次函数y=ax2+k的图象和性质二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线,它的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,k).y=ax2+k和y=ax2的图象,形状相同,只是位置不同.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2上下平移得到.其平移规律是:上加下减,即k0时,将抛物线y=ax2向上平移k个单位;k0时,将抛物线y=ax2向下平移|k|个单位.知识点一知识点二知识点三名师解读:理解二次函数y=ax2+k的图象与性质时可结合下面的表格:a的符号a0a0图象k0k0知识点一知识点二知识点三a的符号a0a0开口方向向上向下对称轴y轴(x=0)y轴(x=0)顶点坐标(0,k)(0,k)增减性当x0时,y随x的增大而增大;当x0时,y随x的增大而减小当x0时,y随x的增大而减小;当x0时,y随x的增大而增大最值当x=0时,y最小值=k当x=0时,y最大值=k知识点一知识点二知识点三例1对于函数y=x2+1,下列结论正确的是()A.图象的开口向下B.y随x的增大而增大C.图象关于y轴对称D.最大值是0解析:根据二次函数y=x2+1的性质进行判断.∵a=10,∴其图象的开口向上,对称轴为y轴,当x0时,y随x的增大而增大,当x=0时,y取最小值1.答案:C知识点一知识点二知识点三由于y=x2+1是由y=x2向上平移1个单位得到的,所以可以利用y=x2的性质来进行判断,只要明确其中的“变”与“不变”即可.知识点一知识点二知识点三知识点二二次函数y=a(x-h)2的图象和性质二次函数y=a(x-h)2的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=h,顶点坐标是(h,0).y=a(x-h)2和y=ax2的图象,形状相同,只是位置不同.二次函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象左右平移得到.平移的规律是左加右减,即当h0时,向左平移|h|个单位;当h0时,向右平移h个单位.知识点一知识点二知识点三名师解读:理解二次函数y=a(x-h)2的图象及性质时可结合下面的表格.a的符号a0a0图象h0h0知识点一知识点二知识点三a的符号a0a0开口方向向上向下对称轴x=hx=h顶点坐标(h,0)(h,0)增减性当xh时,y随x的增大而增大;当xh时,y随x的增大而减小当xh时,y随x的增大而减小;当xh时,y随x的增大而增大最值当x=h时,y最小值=0当x=h时,y最大值=0知识点一知识点二知识点三例2已知抛物线y=5(x-1)2,下列说法中,你认为不正确的是()A.顶点坐标为(1,0)B.对称轴为直线x=0C.当x1时,y随x的增大而增大D.当x1时,y随x的增大而减小解析:根据二次函数y=5(x-1)2的性质,利用排除法求解.对于A,顶点坐标为(1,0),正确,不符合题意;对于B,对称轴为直线x=1,错误,符合题意;对于C,当x1时,y随x的增大而增大,正确,不符合题意;对于D,当x1时,y随x的增大而减小,正确,不符合题意.答案:B知识点一知识点二知识点三解答这类问题,可以在掌握y=a(x-h)2的图象和性质的基础上,利用数形结合逐一进行判断.知识点一知识点二知识点三知识点三二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h,k的值来确定.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:(1)当a0时,开口向上;当a0时,开口向下.(2)对称轴是x=h.(3)顶点是(h,k).知识点一知识点二知识点三名师解读:理解二次函数y=a(x-h)2+k的图象及性质时可结合下面的表格.a的符号a0a0图象开口方向向上向下对称轴x=hx=h顶点坐标(h,k)(h,k)增减性当xh时,y随x的增大而增大;当xh时,y随x的增大而减小当xh时,y随x的增大而减小;当xh时,y随x的增大而增大最值当x=h时,y最小值=k当x=h时,y最大值=k知识点一知识点二知识点三例3(2015·东营区校级模拟)对于抛物线y=-(x+1)2+3,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(-1,3);④x1时,y随x的增大而减小,其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:根据二次函数的性质对各结论分析判断:①∵a=-10,∴抛物线的开口向下,正确;②对称轴为直线x=-1,故②错误;③顶点坐标为(-1,3),正确;④当x-1时,y随x的增大而减小,故④正确.综上所述,正确的结论是①,③,④,共3个.答案:C知识点一知识点二知识点三解答这类问题,可在理解二次函数y=a(x-h)2+k的性质的基础上,对每一条逐一分析直至得出答案.拓展点一拓展点二拓展点一二次函数图象的平移例1抛物线y=-(x-2)2+1经过平移后与抛物线y=-(x+1)2-2重合,那么平移的方法可以是()A.向左平移3个单位再向下平移3个单位B.向左平移3个单位再向上平移3个单位C.向右平移3个单位再向下平移3个单位D.向右平移3个单位再向上平移3个单位解析:根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可.∵抛物线y=-(x-2)2+1的顶点坐标为(2,1),抛物线y=-(x+1)2-2的顶点坐标为(-1,-2),∴顶点由(2,1)到(-1,-2)需要向左平移3个单位再向下平移3个单位.答案:A拓展点一拓展点二解答这类问题的关键是掌握“左加右减”和“上加下减”的平移规律,在具体运用时注意灵活使用,一般是根据顶点坐标的变化一步到位,如果所给的解析式不是顶点式,可以先通过配方化成顶点式,再进行判断.拓展点一拓展点二拓展点二二次函数顶点式的综合运用例2(2015秋·自贡校级月考)把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数y=(x+1)2-1的图象.(1)试确定a,h,k的值;(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.分析:(1)利用逆向思维的方法求解.把二次函数y=(x+1)2-1的图象先向右平移2个单位,再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象,然后利用顶点的平移变化情况确定原二次函数解析式,最后写出a,h,k的值;(2)根据二次函数的性质求解.1212拓展点一拓展点二解:(1)二次函数y=12(x+1)2-1的图象的顶点坐标为(-1,-1),把点(-1,-1)先向右平移2个单位,再向下平移4个单位得到点的坐标为(1,-5),所以原二次函数的解析式为y=12(x-1)2-5,所以a=12,h=1,k=-5.(2)二次函数y=a(x-h)2+k,即y=12(x-1)2-5的图象的开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-5).拓展点一拓展点二由于抛物线平移前后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移前后的顶点坐标,即可求出解析式.