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22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质知识点一知识点二知识点三知识点一二次函数y=x2的图象和性质二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线,对称轴与抛物线的交点叫做顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.对于特殊的二次函数y=x2,对称轴是y轴,顶点是(0,0),顶点是它的最低点,在对称轴的左侧,抛物线从左到右下降;在对称轴的右侧,抛物线从左到右上升.也就是说,当x0时,y随x的增大而减小;当x0时,y随x的增大而增大.名师解读:理解和记忆二次函数的性质时,可以从y=x2得到启发,其他二次函数的图象及性质可类比y=x2的图象和性质,主要从开口方向、对称轴、顶点、增减性等几个方面去进行.知识点一知识点二知识点三例1通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象.分析:首先列表求出函数图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.解:列表,得:描点,连线如图所示.x…-3-2-10123…y…-9-4-10-1-4-9…知识点一知识点二知识点三画二次函数的图象,列表时取的点越多,图象往往越准确,但是一般采用“五点法”或“七点法”画图,画图时应注意:(1)描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分,是近似的,由于x可取一切实数,所以图象是向两方无限延伸的;(2)点取得越多,图象画得越精确,在限定条件下(即限定自变量的取值范围)或在实际问题中,函数的图象必须要根据自变量的取值范围取其中的一部分;(3)所画图象必须平滑(符合点的发展变化的趋势),尤其是顶点不能画成“尖”形的.知识点一知识点二知识点三知识点二y=ax2的图象一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.对于y=ax2,|a|越大,抛物线的开口越小.名师解读:二次函数y=ax2的图象是抛物线,结合图象可知,二次项系数a的符号决定了开口方向,|a|决定了开口的大小.知识点一知识点二知识点三例2(1)在同一坐标系中,画出下列函数的图象:(2)从解析式、函数的对应值表、函数三个方面对比,说说解析式中二次项的系数a对抛物线的形状有什么影响.分析:(1)列表、描点、连线,可得函数图象.(2)观察图象即可得出.①y=12x2;②y=4x2;③y=-12x2;④y=-4x2.知识点一知识点二知识点三解:(1)列表如下:-2-1012y=12x22120122y=4x21640416y=-12x2-2-120-12-2y=-4x2-16-40-4-16描点:以表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出各点,连线:用平滑的曲线连接各点,如图所示.知识点一知识点二知识点三(2)a的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同;|a|越大,抛物线开口越小.知识点一知识点二知识点三在用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时,取相应的x与y的值时,应从原点(0,0)开始左右对称地取值.为了描点准确与方便,尽量取坐标为整数的点,其图象是向两方无限延伸的,当选取的点越多时,所画出的图象越精确.知识点一知识点二知识点三知识点三y=ax2图象的性质从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a0,当x0时,y随x的增大而减小,当x0时,y随x的增大而增大;如果a0,当x0时,y随x的增大而增大,当x0时,y随x的增大而减小.名师解读:当a0时,理解二次函数的性质可以利用y=x2的图象进行描述,当a0时,可以根据y=-ax2和y=ax2图象的对称性进行对比描述.知识点一知识点二知识点三例3已知抛物线y=ax2(a≠0),当a取不同的值时,下列说法正确的是()A.顶点坐标不同B.对称轴相同C.开口方向一致D.都有最低点解析:根据二次函数的顶点坐标,对称轴和开口方向以及最高(低)点等,对各选项分析判断利用排除法求解.对于A,不论a为何值,顶点坐标都是(0,0),故本选项错误;对于B,不论a为何值,对称轴为y轴,故本选项正确;对于C,a0,抛物线开口向上,a0,抛物线开口向下,所以开口方向一致是错误的,故本选项错误;对于D,a0,有最高点,a0,有最低点,故本选项错误.答案:B知识点一知识点二知识点三解答这类问题时,可借助于y=x2和y=-x2的图象和性质逐一对照(相当于特殊值法),然后再作出判断.知识点一知识点二知识点三例4已知函数y=ax2的图象过点.(1)简述函数y=ax2的性质;(2)在其图象上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1x20,比较y1,y2的大小.分析:(1)把点代入函数y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函数的性质.(2)二次函数y=ax2的对称轴为y轴,由(1)知a0,所以在其对称轴的右侧y随x的增大而减小,又x1x20,故y1y2.1,-121,-12知识点一知识点二知识点三解:(1)∵函数y=ax2的图象过点1,-12,∴a=-12.∴其图象开口向下,对称轴为y轴,在y轴的右侧y随x的增大而减小,在y轴的左侧y随x的增大而增大.(2)由(1)知a=-120,∴当x0时,y随x的增大而减小,∵x1x20,∴y1y2.知识点一知识点二知识点三解答这类比较大小的问题,先确定函数的解析式,再根据二次函数的性质进行解答,也可以利用特殊值法进行判断.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一二次函数y=ax2解析式的确定例1已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,-0.5).(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象;(2)请写出这个二次函数的顶点坐标及对称轴.分析:(1)将点A(-1,-0.5)代入y=ax2即可得到a的值;(2)根据二次函数y=ax2的图象和性质直接写出其顶点坐标和对称轴即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:(1)将点A(-1,-0.5)代入y=ax2得,a=-0.5,故其解析式为y=-0.5x2;画出其图象如图所示.(2)顶点坐标为(0,0),对称轴为x=0.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四由于y=ax2中只有一个未知字母a,所以只需一个条件(图象上一个点的坐标或一对对应值)利用待定系数法就可以确定其解析式.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二二次函数y=ax2的图象与一次函数的图象共存同一坐标系的问题例2在同一坐标系中画出一次函数y=ax+a和二次函数y=ax2的大致图象正确的是()拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解析:根据a的符号分类,a0时,在A,B中判断一次函数的图象是否相符,a0时,在C,D中进行判断.①当a0时,二次函数y=ax2的图象开口向上,一次函数y=ax+a的图象经过第一、二、三象限,排除A;②当a0时,二次函数y=ax2的图象开口向下,一次函数y=ax+a的图象经过第二、三、四象限,排除C,D.答案:B拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,一般用排除法,首先根据抛物线的开口方向,确定二次函数二次项系数a的符号,然后再根据一次函数确定a的符号,如果相同,说明可能正确;如果不同,直接排除.按照这种方法逐一判断,直至找出正确答案为止.特别注意个别问题需要再结合一次函数与抛物线的公共点的位置才能确定最后答案.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三与y=ax2的图象和一次函数图象交点有关的问题例3如图,已知抛物线y=ax2(a≠0)与直线AB交于点P(4,-4),连接OP,OP=AP,求二次函数的解析式及抛物线与直线AB另一个交点B的坐标.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析:将P点坐标代入抛物线解析式中求出a的值,即可确定出抛物线解析式,过点P作PQ⊥OA,则Q(4,0),再根据OP=AP,得A(8,0),设直线AB的解析式为y=mx+n,将A,P坐标代入直线解析式y=mx+n,求出m,n的值,联立两函数解析式求出另一个交点B即可.解:将x=4,y=-4代入抛物线解析式得a=-14,则抛物线解析式为y=-14x2.过点P作PQ⊥OA,则Q(4,0),∵OP=AP,∴OQ=AQ,∴A(8,0),拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四设直线AB的解析式为y=mx+n,将A,P坐标代入直线解析式y=mx+n,得8𝑚+𝑛=0,4𝑚+𝑛=-4,解得𝑚=1,𝑛=-8,∴直线解析式为y=x-8,联立直线与抛物线解析式得𝑦=𝑥-8,𝑦=-14𝑥2,消去y得x2=-4x+32,即x2+4x-32=0,分解因式得(x-4)(x+8)=0,解得x=4或x=-8,当x=-8时,y=-8-8=-16,则抛物线与直线AB另一个交点坐标为(-8,-16).拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答求二次函数与一次函数图象的公共点的坐标问题时,把两函数的解析式联立组成方程组,方程组的解就是两函数图象的交点坐标,然后再结合其他条件解答相关问题.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四与y=ax2有关的综合题例4如图所示,抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一个交点A.(1)求A点坐标;(2)在x轴上是否存在一点P,使△AOP是以OP为底的等腰三角形?若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析:(1)解方程组𝑦=𝑥2,𝑦=2𝑥,可求得A点坐标;(2)作AB⊥x轴于B点,根据等腰三角形的判定当PB=OB时,△AOP是以OP为底的等腰三角形,然后根据轴对称写出P点坐标.解:(1)解方程组𝑦=𝑥2,𝑦=2𝑥,得𝑥=0,𝑦=0或𝑥=2,𝑦=4,所以A点坐标为(2,4).(2)存在.作AB⊥x轴于B点,如图所示,当PB=OB时,△AOP是以OP为底的等腰三角形,因为A点坐标为(2,4),所以P点坐标为(4,0).拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,先由函数解析式求得交点的坐标,然后结合几何知识确定是否存在,如果存在,再确定点的坐标.