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章末专题整合专题一专题二专题三专题四专题一一元二次方程的相关概念例1关于x的方程x2-(k+1)x-6=0的一个根是2,求k的值和方程的另一根.分析:根据方程的根可以使方程左右两边相等,将x=2代入原方程,可求出k的值,进而可通过解方程求出另一根.解:把x=2代入x2-(k+1)x-6=0,得4-2(k+1)-6=0,解得k=-2,解方程x2+x-6=0,解得x1=2,x2=-3.答:k=-2,方程的另一个根为-3.专题一专题二专题三专题四解答这类与方程的解有关的问题,一般先把方程的根代入方程确定未知的字母的值后,再根据题目的要求解答其他问题.专题一专题二专题三专题四专题二一元二次方程的解法例2解方程:x2+2x-15=0.分析:观察这个方程的特点,利用公式法或因式分解法或配方法都可以求出方程的解.解:解法一:∵a=1,b=2,c=-15,Δ=22-4×1×(-15)=640,∴x1=3,x2=-5.解法二:(x-3)(x+5)=0,∴x1=3,x2=-5.解法三:x2+2x=15,x2+2x+1=15+1,(x+1)2=42,x+1=±4,∴x1=3,x2=-5.∴x=-2±642×1,专题一专题二专题三专题四一元二次方程解法选取的基本原则:(1)当一个方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数时适合用配方法.(2)当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积,右边是0的形式时,就可利用因式分解法来解.(3)在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解.专题一专题二专题三专题四专题三一元二次方程的判别式及根与系数的关系例3已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个实数根x1和x2.(1)求实数m的取值范围;分析:(1)根据一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个实数根得到Δ=(2m-3)2-4m2=-12m+9≥0,求出m的取值范围;(2)首先根据根与系数的关系得到x1+x2=3-2m,x1x2=m2,然后得到,求出m的值即可.(2)若𝑥12+3x1x2+𝑥22=5,求m的值.𝑥12+3x1x2+𝑥22=(3-2m)2-2m2+3m2=5m2-12m+9=5专题一专题二专题三专题四解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个实数根x1和x2,∴Δ≥0,∴Δ=(2m-3)2-4m2=-12m+9≥0,∴m≤34.(2)由题意得x1+x2=3-2m,x1x2=m2,∵(x1+x2)2-2x1x2=𝑥12+𝑥22,∴𝑥12+3x1x2+𝑥22=(3-2m)2-2m2+3m2+9=5m2-12m+9,∵𝑥12+3x1x2+𝑥22=5,∴5m2-12m+9=5,∴(5m-2)(m-2)=0,∴m1=2,m2=25,∵由(1)知m≤34,∴m=25.专题一专题二专题三专题四解答本题的关键是把转化为关于m的一元二次方程,解方程求出字母m的值后只有满足Δ≥0的才是符合要求的答案.𝑥12+3x1x2+𝑥22=5专题一专题二专题三专题四专题四一元二次方程的应用例4某市百货大楼服装柜在销售中发现:“七彩”牌童装平均每天可售出30件,每件盈利50元.为了迎接元旦,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出1件.要想平均每天销售这种童装盈利1564元,那么每件童装应降价多少元?专题一专题二专题三专题四分析:设每件童装应降价x元,原来平均每天可售出30件,每件盈利50元,现在每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出1件.要想平均每天销售这种童装盈利1564元,由此即可列出方程(50-x)(30+x)=1564,解方程就可以求出应降价多少元.解:设每件童装应降价x元,则(50-x)(30+x)=1564,解得x1=4,x2=16.因为要扩大销售量,增加盈利,减少库存,所以x只取16.答:每件童装应降价16元.专题一专题二专题三专题四解答这类应用问题,首先找到关键描述语,找到等量关系,然后准确地列出一元二次方程是解决问题的关键.最后要注意根据实际判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解