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*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系知识点一知识点二知识点一二次项系数为“1”的一元二次方程的根与系数的关系由于二次项系数为“1”的方程可以化简成x2+px+q=0的形式,所以当方程有两个根x1,x2时,一定有一次项系数p=-(x1+x2),常数项q=x1·x2.名师解读:由x1+x2=-p,x1·x2=q知,若已知x1,x2,p,q这四个量中的任何两个,都能确定另外两个,利用这种关系可以解答相关的问题.知识点一知识点二例1(2015·遵义模拟)如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=-1,那么p,q的值分别是()A.1,-2B.-1,-2C.-1,2D.1,2解析:观察可以发现,方程的二次项系数为“1”,所以有p=-[2+(-1)]=-1,q=2×(-1)=-2.答案:B知识点一知识点二解答这类问题,关键是正确掌握二次项系数为“1”的一元二次方程的根与系数的关系,当方程的二次项系数不为“1”时,不能使用.知识点一知识点二例2已知x1,x2是方程x2-5x-2=0的两个实数根,则的值为()A.31B.29C.25D.17解析:此题若先解方程求得两个根,再代入求值,计算量会很大,但是根据一元二次方程的根与系数的关系,容易求得x1与x2的和与积,如果再把所求的代数式转变成用两根的和与积表示出来的式子,“整体代入”求值则比较方便.∵x1,x2是方程x2-5x-2=0的两个根,∴x1+x2=5,x1x2=-2.答案:A𝑥12-x1x2+𝑥22∴𝑥12-x1x2+𝑥22=(x1+x2)2-3x1x2=25+6=31.知识点一知识点二解答这类求代数式的值的问题,先利用根与系数的关系分别求出“x1+x2”和“x1x2”的值,然后把所求值的代数式变形转化成含有“x1+x2”和“x1x2”的式子,利用“整体代入”的思想代入求值.知识点一知识点二知识点二二次项系数不是“1”的一元二次方程的根与系数的关系任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比.用式子表示为这个关系还叫做韦达定理.x1+x2=-𝑏𝑎,x1·x2=𝑐𝑎,名师解读:利用这两个关系式可以解答“已知其中的三个量,求另外的两个量的问题”,还可以解答求代数式的值的问题.要特别注意等式中的a,b,c所表示的含义.知识点一知识点二例3(2015·芦溪县模拟)设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,则𝑥12+𝑥22的值是()A.15B.12C.6D.3解析:欲求𝑥12+𝑥22的值,可先由根与系数的关系求得x1+x2=3,x1x2=32,然后把𝑥12+𝑥22变形为含“x1+x2”和“x1x2”的式子,最后代入求值.∵x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,∴x1+x2=3,x1x2=32.∴𝑥12+𝑥22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×32=6.答案:C知识点一知识点二解答这类问题,先求出方程的解再代入代数式求值,计算量会很大,一般先把求值的代数式进行变形,使其变成包含两根的和与两根的积的式子,再利用整体代入的方法求值.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一利用韦达定理由方程的根确定原方程例1已知α,β满足α+β=5,且αβ=6,则以α,β为两根的二次项系数为“1”的一元二次方程是()A.x2+5x+6=0B.x2-5x+6=0C.x2-5x-6=0D.x2+5x-6=0解析:以α,β为两根的一元二次方程的两根是α,β,且α,β满足α+β=5,αβ=6.所以这个方程的系数应满足两根之和是,两根之积是,当二次项系数a=1时,一次项系数b=-5,常数项c=6,所以方程为x2-5x+6=0.答案:B-𝑏𝑎=5𝑐𝑎=6拓展点一拓展点二拓展点三满足α+β=5,且αβ=6,则以α,β为两根的一元二次方程有无数多个,形式为a(x-α)(x-β)=0(a≠0),只要二次项系数a改变,方程就会随着改变.但是此题可以利用排除法解答,也可以通过解各个方程找到正确答案.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二已知方程的一根,利用根与系数的关系求另一根或字母的值例2(2015·北京校级模拟)方程4x2-kx+6=0的一个根是2,那么k的值和方程的另一个根分别是()A.5,34B.11,34C.11,-34D.5,-34拓展点一拓展点二拓展点三解析:方法一:根据一元二次方程的解的定义,把x=2代入方程得到k的值,再计算另外一个根,即可求解.把x=2代入方程4x2-kx+6=0,得4×22-2k+6=0,解得k=11,再把k=11代入原方程,得4x2-11x+6=0,解得x=2或34.方法二:由于a和c都已知,所以两个根的积可求出为64=32,其中一根为2,可得另一根为34,所以两根的和表示为“2+34”,结果为114;而两个根的和为--𝑘4=𝑘4,故有114=𝑘4,因而k=11.答案:B拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题时,两种方法都能解决问题,根据问题的实际情况灵活选取,只要计算简便即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三根与系数的关系与判别式的综合运用例3已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2-3=0的两实根,且(x1+1)·(x2+1)=8,求k的值.分析:根据一元二次方程的根与系数的关系知x1+x2=2(k+1),x1x2=k2-3,代入(x1+1)·(x2+1)=8,即x1x2+(x1+x2)+1=8即可得到关于k的方程,可求出k的值,再根据Δ与0的关系舍去不合理的k值.拓展点一拓展点二拓展点三解:依题意可知,x1+x2=2(k+1)=2k+2,x1x2=k2-3,由(x1+1)(x2+1)=8得x1x2+x1+x2+1=8,得k2-3+2k+2+1=8,即k2+2k-8=0,解得k1=2,k2=-4.而Δ=[-2(k+1)]2-4(k2-3)≥0,所以k≥-2.所以k=2.拓展点一拓展点二拓展点三一元二次方程只有有根的情况下,才能研究根的情况,所以解答此类问题时所求出的字母的值须使原方程有实根.如:本题中不要只根据(x1+1)(x2+1)=8,求出k的值,而忽略Δ与0的关系.