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21.2.3因式分解法知识点知识点因式分解法先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.名师解读:(1)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:①将方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个关于未知数的一次因式的积;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,得出它们的解,它们的解就是原一元二次方程的解.(2)因式分解法也适合于一元“高次”(次数大于2的)方程的求解.如:解方程x(x-1)(x-2)=0.知识点例1方程x2-5x+6=0的两个根是()A.-1,-6B.2,3C.-2,-3D.1,6解析:观察方程的特点,可以用配方法和公式法求解,但是发现方程的右端为0,而左端能逆用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab进行分解,表示成两个一次式的乘积,因此可以使用因式分解法求解.∵x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,∴x-2=0或x-3=0,∴x1=2,x2=3.答案:B知识点因式分解法解一元二次方程的理论根据是如果两个因式的积等于零,那么,这两个因式至少要有一个等于零.它是解一元二次方程最常用的方法.一般来说,能用因式分解法求解的一元二次方程应尽量用因式分解法,这种方法快速、方便,准确率高,当使用因式分解法比较困难时,再考虑运用公式法等.知识点例2解方程:(1)x(x+3)=7(x+3);(2)x2+5x-6=0.分析:(1)方程变形后,提取公因式可化为积的形式,然后利用“两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0”转化为两个一元一次方程来求解;(2)方程左边能逆用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab进行因式分解.知识点解:(1)方程变形得x(x+3)-7(x+3)=0,分解因式得(x+3)(x-7)=0,解得x1=-3;x2=7.(2)x2+5x-6=0,因式分解得(x-1)(x+6)=0,解得x1=1;x2=-6.知识点利用因式分解法解一元二次方程时,先考虑提公因式法,再考虑公式法,只要能把方程的右边化为0,左边变成两个一次式的乘积即可.同时特别注意方程两边不能同除以含有未知数的式子(有可能为零).拓展点一拓展点二拓展点一灵活地选择方法解一元二次方程例1解方程:3x(x-1)=1-x.分析:观察方程,方程右边的“1-x”如果移到方程左边,则变为“x-1”,此时有公因式“x-1”可提,因此,易采用因式分解法.解:移项,得3x(x-1)+(x-1)=0,因式分解,得(x-1)(3x+1)=0,∴x-1=0或3x+1=0,∴x1=1,x2=-13.拓展点一拓展点二当一元二次方程的一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,或方程的各项中有含有未知数的一次式的公因式时,应选用因式分解法求解.由于因式分解法是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程,它充分体现“降次”在解题中的作用.拓展点一拓展点二例2方程(x+3)2=25的根是()A.5,-5B.2,-2C.8,2D.-8,2解析:观察原方程,方程的左边是(x+3)的完全平方式,右边是一个非零常数25,宜选用直接开平方法.两边开平方,得x+3=±5,∴x=±5-3,∴x1=-8,x2=2.答案:D拓展点一拓展点二形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程,一般适宜用直接开平方法求解.拓展点一拓展点二例3解方程:x2-2x-11=0.分析:本题若用因式分解法或直接开平方法都有一定的困难,但仔细观察不难发现二次项系数是“1”,一次项系数是偶数,可选用配方法求解.解:移项,得x2-2x=11,方程两边都加上12(一次项系数一半的平方),得x2-2x+1=11+1,即(x-1)2=12,两边开平方,得x-1=±23,即x=±23+1.∴x1=23+1,x2=-23+1.拓展点一拓展点二配方法适合于解任何一元二次方程,特别适合于一次项系数的绝对值是二次项系数的绝对值的2倍的方程.拓展点一拓展点二例4解方程:4x2-6x-3=0.分析:本题的各项系数没有什么明显的特点,利用上述三种方法解都比较麻烦,所以考虑使用公式法求解.解:∵a=4,b=-6,c=-3,b2-4ac=(-6)2-4×4×(-3)=84,∴x=-𝑏±𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎=-(-6)±842×4=6±2218.∴x1=3+214,x2=3-214.拓展点一拓展点二当所求解的一元二次方程没有明显的简便解法时,就选择公式法,公式法适用于求解任何一元二次方程.综上所述,因式分解法和直接开平方法虽然简便,但并非所有的方程都可使用;配方法适用于任何一个一元二次方程,但过程比较麻烦;而公式法是在配方法的基础上,利用其导出的求根公式直接求解,比配方法简单得多,但又不如直接开平方法和因式分解法快捷.所以解一元二次方程时,要注意方法的选择,可参考如下原则:拓展点一拓展点二(1)当一元二次方程的左边为完全平方式,右边为非负数或者左右两边都是完全平方式时,可利用直接开平方法;(2)当一个方程的二次项系数为“1”,一次项系数为偶数时,适合用配方法;(3)当一元二次方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积,右边是0的形式时,易采用因式分解法来解;(4)在上述三种方法都不易求解的情况下,可利用公式法求解.拓展点一拓展点二拓展点二利用“换元法”解可化为一元二次方程的方程例5解方程:(x2-3x)2-2(x2-3x)-8=0.解:设x2-3x=y,则原方程可化为y2-2y-8=0,解得y1=-2,y2=4.当y=-2时,x2-3x=-2,解得x1=2,x2=1;当y=4时,x2-3x=4,解得x3=4,x4=-1.故原方程的根是x1=2,x2=1,x3=4,x4=-1,根据以上材料,请解方程:(2x2-3x)2+5(2x2-3x)+4=0.分析:通过阅读可知,根据整体思想,利用“换元法”能解“可化为一元二次方程的一元高次方程”,此问题中,可以把“(2x2-3x)”看做一个整体,令(2x2-3x)=y,则原方程变为y2+5y+4=0,先求得y的值,再进一步可求得原方程的解.拓展点一拓展点二解:设2x2-3x=y,原方程转化为y2+5y+4=0,解得y1=-4,y2=-1.当y1=-4时,2x2-3x+4=0,此方程无实数根.当y2=-1时,2x2-3x+1=0,解得x1=12,x2=1.故原方程的根为x1=12,x2=1.拓展点一拓展点二当所给出的方程比较“复杂”,或者不易直接求解时,可以利用“换元法”求解,利用换元法解方程的基本步骤为:(1)先选取换元的“基本单元”,将方程换元成“新方程”,注意换元后,仅含有新设的未知数;(2)解新方程,得出新未知数的值;(3)将新未知数还原成“基本单元”,即还原成含原未知数的方程;(4)解所还原后的几个方程,得到原方程的解.