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21.2.2公式法知识点一知识点二知识点一一元二次方程的判别式一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac.(1)当Δ0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;(2)当Δ=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;(3)当Δ0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.知识点一知识点二拓展讲解:(1)判别式Δ=b2-4ac与一元二次方程根的情况的关系是相互的,即:①b2-4ac0⇔方程有两个不相等的实数根;②b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根;③b2-4ac0⇔方程无实数根.(2)特别地:①一元二次方程有实根指的是有两个不等实根和两个相等实根,即此时应有b2-4ac≥0;②一元二次方程没有实数根时,不能说成无解,因为方程无解,只是在实数范围内无解.知识点一知识点二例1(2015·长春)方程x2-2x+3=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根C.没有实数根D.有两个不相等的实数根解析:把a=1,b=-2,c=3代入Δ=b2-4ac进行计算,然后根据计算结果判断方程根的情况.∵a=1,b=-2,c=3,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-80.∴方程没有实数根.答案:C知识点一知识点二解答这类判断一元二次方程根的情况的问题,只要计算出判别式Δ=b2-4ac的值,根据判别式的符号即可确定.知识点一知识点二知识点二公式法当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式表达了一般的用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时,把各项系数直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.x=-𝑏±𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎知识点一知识点二拓展讲解:用公式法解一元二次方程的步骤是:(1)把一元二次方程化为一般形式;(2)确定a,b,c的值;(3)求出b2-4ac的值;(4)如果b2-4ac≥0,则把a,b,c的值代入求根公式,求出x1和x2的值,如果b2-4ac0,则方程无实数根;当b2-4ac=0时,必须把原方程的根写成的形式,这样才能说明方程有两个相等的实数根,而不是只有一个根.x1=x2=-𝑏2𝑎知识点一知识点二例2用公式法解下列方程.(1)x2-x=-2;(2)x2-2x=2x+1;(3)(3x-1)(x+2)=11x-4.分析:把各方程整理为一般形式,找出a,b,c的值,代入求根公式即可求出解.知识点一知识点二解:(1)方程整理得x2-x+2=0,这里a=1,b=-1,c=2,∵Δ=1-8=-70,∴方程无实数根.(2)方程整理得x2-4x-1=0,这里a=1,b=-4,c=-1,∵Δ=16+4=20,∴x=4±202=4±252.∴x1=2+5,x2=2-5.(3)方程整理得3x2-6x+2=0,这里a=3,b=-6,c=2,∵Δ=36-24=12,∴x=6±236=3±33,∴x1=3+33,x2=3-33.知识点一知识点二利用公式法可以解任何形式的一元二次方程,被称为“万能法”,但是使用时,一定要先把一元二次方程化成一般形式,同时注意各项系数的符号,而且要先计算b2-4ac的值,确定了根的情况后才能套用公式.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一灵活地选择方法解一元二次方程例1选择适当的方法解方程:(1)(x-1)2=3;(2)x2-2x=4;(3)x2-3x+1=0.分析:(1)因为方程的左边是完全平方形式,右边是正整数,所以利用直接开平方法求解;(2)由于方程的左边二次项的系数为1,并且一次项系数是偶数,所以利用配方法求解较好;(3)虽然方程的左边二次项的系数为1,但是一次项系数是奇数,如果用配方法会出现分数,所以利用公式法解方程.拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)由原方程,得x-1=±3,解得x1=1-3,x2=1+3.(2)由原方程,得x2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5,解得x1=1-5,x2=1+5.(3)在x2-3x+1=0中,a=1,b=-3,c=1,则x=-(-3)±(-3)2-4×1×12=3±52,所以x1=3+52,x2=3-52.拓展点一拓展点二拓展点三在一元二次方程的解法中,公式法和配方法可以说是“通法”,即能解任何一个一元二次方程.但对某些特殊形式的一元二次方程,有的用直接开平方法简便.因此,在遇到一道题时,应根据题目自身的特点灵活地选择适当的方法去解一元二次方程.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二根据根的判别式确定字母的值或取值范围例2m为何值时,关于x的一元二次方程(m+1)x2-(2m-3)x=-m-1:(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?分析:回答各个问题,只要根据方程的根的情况,确定判别式Δ=b2-4ac的取值,列出相应的方程或不等式,解相应的方程或不等式即可确定字母m的值或取值范围.拓展点一拓展点二拓展点三解:方程化为(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0,Δ=b2-4ac=[-(2m-3)]2-4×(m+1)2=-20m+5,∵方程为一元二次方程,∴m+1≠0,解得m≠-1.(1)当-20m+50时,解得m14,∴当m14且m≠-1时,原方程有两个不相等的实数根.(2)当-20m+5=0时,m=14,∴当m=14时原方程有两个相等的实数根.(3)当-20m+50时,m14,∴当m14时原方程没有实数根.拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题的一般方法是根据方程根的情况列出关于未知字母的方程或不等式,通过解方程或不等式来求字母的值或确定字母的取值范围.拓展点一拓展点二拓展点三例3已知关于x的方程(k-1)x2-6x+9=0.(1)若方程有实数根,求k的取值范围;(2)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(3)若方程有两个相等的实数根,求k的值,并求此方程的根.分析:由于题目中没有指出所给方程是一元二次方程,所以需要分类讨论解答:(1)若k=1,方程为一元一次方程,有解,满足题意;当k不等于1时,方程为一元二次方程,得到根的判别式大于等于0,且二次项系数不为0,列出不等式,求出不等式的解集即可得到k的范围;(2)方程有两个不相等的实数根,得到k-1不为0,且根的判别式大于0,即可得到k的范围;(3)方程有两个相等的实数根,得到k-1不为0,且根的判别式等于0,即可得到k的值.拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)若k=1,方程为一元一次方程,有解,满足题意;若k≠1,方程为一元二次方程,∵方程有实数根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k≥0,解得k≤2且k≠1.综上,k的范围为k≤2.(2)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k0,且k-1≠0,解得k2且k≠1.(3)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k=0,且k-1≠0,解得k=2.∴原方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题时,注意观察题目是否说明所给方程是一元二次方程,如果没有,要分类讨论解答.如果指出所给方程是一元二次方程,一般根据题目所给出的根的情况列出方程或不等式,通过解方程或解不等式求出结果.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与判别式有关的综合题例4已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k取何值,它总有实数根;(2)若等腰三角形一边a=3,另两边为方程的根,求k的值及三角形的周长.分析:(1)计算方程的根的判别式,若Δ=b2-4ac≥0,则方程有实数根;(2)已知a=3,则a可能是底,也可能是腰,分两种情况求得b,c的值后,再求出△ABC的周长.注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验.拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)证明:∵Δ=[-(k+2)]2-4×2k=(k-2)2≥0,∴无论k取何值,它总有实数根.(2)当a=3是等腰三角形的底时,则Δ=0,即(k-2)2=0,解得k=2,则方程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,此时等腰三角形的周长为2+2+3=7;当a=3是等腰三角形的腰时,则a=3是方程的一个根,将x=3代入x2-(k+2)x+2k=0,得k=3,此时方程变为x2-5x+6=0,解方程得x1=2,x2=3,所以等腰三角形的底为2,周长为3+3+2=8.拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,首先根据根的判别式确定字母的取值范围,同时注意结合等腰三角形的相关概念及三角形的三边关系分类讨论解答.