2425切线长定理

CPD这是一位同学运动完后放的篮球，如果截它的平面，那么你能从中发现什么几何知识呢？墙地面P从圆外一点可以引圆的两条切线。AB过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。OPABOPAB根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？∠1与∠2又有什么关系？⌒12关键是作辅助线AOPB证明：连结OA、OB∵PA、PB是⊙O的两条切线∴OA⊥AP，OB⊥BP又∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB,∠APO=∠BPO已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，如何证明PA=PB,∠APO=∠BPO？PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线长定理:APO。B几何语言:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法。APO。BM若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线∴OP垂直平分AB例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。(1)写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OPAPO。BCED例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。(2)写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPCAPO。BCED例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。(3)写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCPAPO。BCED例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。（4）写出图中所有的等腰三角形△OAB,△PABAPO。BCED例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。（5）若PA=4、PD=2，求半径OA.APO。BCED设OA=xcm,则PO=PD+x=(2+x)cm在Rt△OAP中，由勾股定理，得42+x2=(x+2)2解得x=3所以，半径OA的长为3cm.已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°,求:(1)△PEF的周长(2)∠EOF的大小。EAQPFBO一、判断（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（）（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。（）××如图,PA、PB切圆于A、B两点，∠APB=50°,连结PO，则∠APO=度。25PBOA二、填空填空：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，（1）若PB=12，PO=13，则AO=;（2）若PO=10，AO=6，则PB=；（3）若PA=4，AO=3，则PO=；PD=；5852(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。(1)若OA=3cm,∠APB=60°，则PA=___.PABCOM如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。。PBAO(3)连结圆心和圆外一点(2)连结两切点(1)分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。小结：APO。BECD∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。三角形与圆——三角形的内切圆思考一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内切圆的圆心三角形的内切圆:三角形的内心:内心的性质:I（即三角形三条角平分线的交点）1.与顶点的连线平分三个内角。2.到三角形三边的距离相等。COBADEF．o外心：三角形三边垂直平分线的交点。性质：到三角形三个顶点的距离相等。．o内心：三角形三个内角平分线的交点。性质：到三角形三边的距离相等。AABBCC三角形的内切圆三角形的外接圆1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个圆有无数个外切三角形；2.一个三角形有且只有一个外接圆；一个圆有无数个内接三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点；4.三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。COBA如图，ΔABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=cm,AC=，AB=。116cm9cmFED如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则ΔPDE的周长为（）A.16cmD.8cmC.12cmB.14cmAPDCBEA例：已知：如图,△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相交于点D、E、F，且AB＝9cm，BC＝14cm，CA＝13cm,求AF、BD、CE的长。AECDBFOxxyyzz如图，Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则内切圆的半径是___.DEF1直角三角形中,设直角边分别为a、b,斜边为c,内切圆半径为r，则r2abcabcr·BDEFOCA如图，△ABC的内切圆的半径为2,△ABC的周长为30,求△ABC的面积S.设△ABC的三边为a、b、c，周长为l，内切圆的半径为r,面积为S，则12S=lr1S=a2bcr·BDEFOCA2rSabc拓广探索垂心重心外心内心交点性质位置三条高线的交点三条角平分线的交点三边垂直平分线的交点三条中线的交点在形内、形外或直角顶点在形内、形外或斜边中点在形内在形内到三角形各顶点距离相等到三角形三边距离相等把中线分成了2:1两部分等边三角形的“四心”等边三角形的“四心”重合直角三角形的“四心”内心外心重心垂心直角三角形的外接圆与内切圆CBACOBA1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.abc斜边中点斜边的一半三角形内部a+b-c2圆的外切四边形的两组对边和相等。探索圆外切四边形边的关系。（1）找出图中所有相等的线段（2）填空：AB+CDAD+BC（,,=)=DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM对边和相等的四边形能作出内切圆比较圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补。对角互补的四边形能作外接圆。既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______.正方形直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.22cm⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.EFHG2cm·OABCDEF·OABCDE如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.PBAOC已知：如图，PA，PB分别切⊙O于A、B，AC为直径。求证：APBBAC21为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？PABOO小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说明她这样做的道理.例.如图，△ABC中,∠C=90º,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.OEBDCAFBAPOCED·O·O·OP·P·P·A