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第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程知识点一知识点二知识点三知识点四知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.名师解读:由一元二次方程的定义可知,判断一个方程是否是一元二次方程必须同时满足三个条件:(1)是整式方程,即分母中不含未知数;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.知识点一知识点二知识点三知识点四例1下面关于x的方程:①ax2+bx+c=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x2++5=0;④x2-2+5x3-6=0;⑤3x2=3(x-2)2;⑥12x-10=0.其中是一元二次方程的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:根据一元二次方程的定义对各方程进行逐一判断即可:①ax2+bx+c=0,当a=0时是一元一次方程,②3(x-9)2-(x+1)2=1是一元二次方程,③x2++5=0是分式方程,④x2-2+5x3-6=0.其中是一元三次方程,⑤3x2=3(x-2)2是一元一次方程,⑥12x-10=0是一元一次方程.答案:A1𝑥1𝑥知识点一知识点二知识点三知识点四判断一个方程是否为一元二次方程,应根据一元二次方程的定义,需要的三个条件缺一不可.当一元二次方程比较复杂不易直接观察时,要先进行整理,要特别注意二次项系数是否有为零的可能.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.名师解读:确定一元二次方程的相关项和系数时,一元二次方程必须先化简整理成一般形式,才能确定其二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项.否则容易造成判断错误.知识点一知识点二知识点三知识点四例2把下列关于x的一元二次方程化为一般形式,并写出二次项系数,一次项系数和常数项.(1)3(x-5)=x(x-5);(2)x(x-2)=0;(3)x2-2x+1=2x(x-1).分析:根据去括号、移项、合并同类项,可得一元二次方程的一般形式,在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.知识点一知识点二知识点三知识点四解:(1)去括号,得3x-15=x2-5x,移项、合并同类项,得x2-8x+15=0,1是二次项系数,-8是一次项系数,15是常数项;(2)去括号,得x2-2x=0,1是二次项系数,-2是一次项系数,0是常数项;(3)去括号,得x2-2x+1=2x2-2x,移项,得x2-1=0,1是二次项系数,0是一次项系数,-1是常数项.知识点一知识点二知识点三知识点四解答此类问题时,先把一元二次方程化成一般形式,再写出各项系数,整理过程中注意符号的变化,去括号时不要漏乘,移项时要注意符号的变化.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点三一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.名师解读:凡是只含一个未知数的方程,其解都可以叫做方程的根,但是含有多个未知数的方程的解不能叫做方程的根,只能叫做方程的解.知识点一知识点二知识点三知识点四例3下列哪些数是方程x2+2x-8=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.分析:方程的根即方程的解,也就是能使方程左右两边相等的未知数的值,将x的值分别代入已知方程进行验证即可作出正确的判断.解:将x=-4代入方程x2+2x-8=0,左边=(-4)2+(-4)×2-8=0,即左边=右边,故x=-4是方程x2+2x-8=0的根.把x=-3,-2,-1,0,1,3,4代入方程x2+2x-8=0,左边都不等于0,故它们都不是方程x2+2x-8=0的根,把x=2代入方程x2+2x-8=0,左边=右边,故x=2是方程x2+2x-8=0的根.所以-4,2是方程x2+2x-8=0的根.知识点一知识点二知识点三知识点四检验一个数是否为一元二次方程的根与检验一个数是否为一元一次方程的解的方法完全相同,故可以类比进行.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点四根据实际问题列一元二次方程运用一元二次方程解决实际问题,要认真读题,运用所学的知识点及生活经验找出题目中的等量关系,并将等量关系数学符号化,从而建立一元二次方程模型.名师解读:建立一元二次方程模型的一般步骤可以总结为:审题,设未知数,列方程.知识点一知识点二知识点三知识点四例4如图所示,在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条同等宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,求x满足的方程.分析:挂图长可表示为(80+2x)cm,宽可表示为(50+2x)cm,根据其面积为5400cm2,即长×宽=5400,列方程进行化简即可.知识点一知识点二知识点三知识点四解:由题意,知挂图长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,所以(80+2x)(50+2x)=5400,即4x2+160x+4000+100x=5400.所以4x2+260x-1400=0,即x2+65x-350=0.知识点一知识点二知识点三知识点四列一元二次方程时,可类比列一元一次方程的方法,首先读懂题目所给的数量关系,找出符合全部题意的等量关系,根据等量关系列出方程,并整理即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一根据一元二次方程的定义求字母的值或取值范围例1若(m-1)-2x+5=0是关于x的一元二次方程,则m的值是()A.±1B.1C.-1D.不能确定解析:由于题目给出的方程是关于x的一元二次方程,因此应该满足一元二次方程的定义所需要的条件,因为-2x和5都不是二次项,所以(m-1)是二次项,因此,未知数x的指数为2,系数不能为0,即解得m=-1.答案:C𝑥𝑚2+1𝑥𝑚2+1𝑚-1≠0,𝑚2+1=2,拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,根据所给条件和一元二次方程的定义列出方程或方程组,通过解方程或方程组求得字母的值或取值范围.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二根据一元二次方程的一般形式求字母的值例2一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0,试求a,b,c的值.分析:欲求a,b,c的值,可以先把方程的左端进行整理化简,变成一元二次方程的一般形式,然后根据对应项的系数相等可得关于a,b,c的方程组,通过解方程组可得答案.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化为一般形式为ax2-(2a-b)x-(b-a-c)=0,由一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0,得𝑎=2,2𝑎-𝑏=3,𝑏-𝑎-𝑐=1,解得𝑎=2,𝑏=1,𝑐=-2.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类与一元二次方程的一般形式相关的问题,首先要把方程整理成一般形式,然后根据“两个多项式相等,其对应项的系数相等”列方程组进行求解.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三利用一元二次方程的解求字母的值例3已知关于x的方程x2-kx+1=0的一个根是x=3,则实数k的值是()A.-13B.-103C.12D.103解析:把x=3代入方程x2-kx+1=0,得9-3k+1=0,解得k=.答案:D103拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答此类问题的关键是把已知的根代入原方程,得到一个关于未知字母的方程,通过解方程求得未知字母的值.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四与一元二次方程的定义有关的综合题例4方程(m+1)+(m-3)x-1=0,(1)m取何值时是关于x的一元二次方程?(2)m取何值时是关于x的一元一次方程?分析:(1)要使关于x的方程是一元二次方程,由于(m-3)x和-1不是关于x的方程的二次项,故(m+1)必须是二次项,则有m2+1=2且系数(m+1)≠0,求出m的值即可;(2)如果所给方程是关于x的一元一次方程,则方程中不能含有二次项,可以考虑有两种情况:一是(m+1)中x的指数为“2”,而系数为0,不含有这一项,此时一次项系数(m-3)不为零即可;二是(m+1)·中x的指数为“1”,此时与(m-3)x合并同类项后系数不为0即可.𝑥𝑚2+1𝑥𝑚2+1𝑥𝑚2+1𝑥𝑚2+1拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:(1)若方程是一元二次方程,则m2+1=2,解得m=±1.显然m=-1时m+1=0,故m=1符合题意.所以m=1时原方程是关于x的一元二次方程.(2)当m+1=0时,解得m=-1,此时方程为-4x-1=0;当m2+1=1时,解得m=0,此时方程为-2x-1=0.所以当m=-1或m=0时,原方程为关于x的一元一次方程.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题时,要注意根据一元二次方程和一元一次方程的定义列出相应的方程或不等式求解,尤其注意要分类讨论解答,否则容易造成漏解.