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专训4用线段成比例法解几何问题的几种常见类型名师点金：线段成比例法在三角形、四边形、圆中有着广泛的应用，是近几年中考命题的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，有时也以压轴题的形式出现．与三角形有关的问题1．【2017·杭州】如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求AFAG的值．(第1题)与四边形有关的问题2．【2017·泰安】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.(1)求证：∠BDC＝∠PDC；(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．(第2题)[来源:Zxxk.Com]与圆有关的问题3．【2017·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.(1)求证：直线DM是⊙O的切线；(2)求证：DE2＝DF·DA.(第3题)4．【中考·襄阳】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，＝(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面积．(第4题)答案1．(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°.∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB.又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC.(2)解：由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴ADAB＝AEAC＝35.[来源:学科网ZXXK]由(1)可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠CAG，∴△EAF∽△CAG.∴AFAG＝AEAC.∴AFAG＝ADAB＝35.2．(1)证明：∵AB＝AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°.∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.∴∠ADC＋∠BDC＝90°.又∵PD⊥AD，∴∠ADC＋∠PDC＝90°.∴∠BDC＝∠PDC.(2)解：如图，过点C作CM⊥PD于点M.(第2题)∵∠BDC＝∠PDC，CM⊥PD，AC⊥BD，∴CE＝CM.∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，[来源:学科网ZXXK]∴△CPM∽△APD.∴CMAD＝PCPA.设CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，∴PC＝32x.∵AB＝AD＝AC＝1，∴x1＝32x32x＋1.解得x＝13，即CE＝13.[来源:学科网ZXXK]经检验，x＝13是方程的解且符合题意．故AE＝AC－CE＝1－13＝23.3．证明：(1)如图，连接OD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD.∴BD︵＝CD︵.∴OD⊥BC.又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，∴∠BDM＝∠DBC.∴BC∥DM.∴OD⊥DM.∴直线DM是⊙O的切线．(2)如图，连接BE.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE.∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE，即∠BED＝∠EBD.∴DB＝DE.∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB.∴DFDB＝DBDA，即DB2＝DF·DA.∴DE2＝DF·DA.(第3题)(第4题)4．(1)证明：如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.∵AE⊥PE，∴OC∥AE.∴∠CAD＝∠OCA.∵OA＝OC，[来源:学,科,网]∴∠OCA＝∠OAC.∴∠CAD＝∠OAC.∴AC平分∠BAD.(2)解：PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＋∠ABC＝90°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC.∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC.∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBC.∴PCPB＝PAPC.∴PC2＝PB·PA.∵＝，∴PC＝2PB.∴PA＝4PB.∴AB＝3PB.(3)解：过点O作OH⊥AD于点H，如图，则AH＝12AD＝32，四边形OCEH是矩形．∴OC＝HE.∴AE＝32＋OC.∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA.∴OCAE＝POPA.∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝32PB.∴OC32＋OC＝PB＋32PBPB＋3PB＝58，∴OC＝52，∴AB＝5.∵△PBC∽△PCA，∴PBPC＝BCAC＝12，∴AC＝2BC.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴(2BC)2＋BC2＝52，∴BC＝5，∴AC＝25.∴S△ABC＝12AC·BC＝5，即△ABC的面积为5.