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相似三角形的性质1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的面积之比为(D)A．4∶3B．3∶4C．16∶9D．9∶162.如图27－2－41，AB∥CD，AOOD＝23，则△AOB的周长与△DOC的周长比是(D)图27－2－41A.25B.32C.49D.233．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为(A)A．48cmB．54cmC．56cmD．64cm4．如图27－2－42，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论不正确的是(D)A．BC＝2DEB．△ADE∽△ABCC.ADAE＝ABACD．S△ABC＝3S△ADE【解析】∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝12BC，∴BC＝2DE，故A正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确；∴ADAE＝ABAC，故C正确；∵DE是△ABC的中位线，∴DE∶BC＝1∶2，∴S△ABC＝4S△ADE，故D错误．图27－2－42图27－2－435．如图27－2－43，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为(B)A．23B．33C．43D．63【解析】作DF⊥BC于F，∵边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，∴DE＝2，BD＝2，∠B＝60°，∴BF＝1，DF＝BD2－BF2＝22－12＝3，∴四边形BCED的面积为12DF·(DE＋BC)＝12×3×(2＋4)＝33.故选B.6．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为(A)A．8，3B．8，6C．4，3D．4，6【解析】∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴ABDE＝ACDF＝2，又∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比为2，∴△ABC与△DEF的周长比为2，面积比为4，又∵△ABC的周长为16，面积为12，∴△DEF的周长为16×12＝8，△DEF的面积为12×14＝3.7.如图27－2－44，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AEAB＝ADAC＝12，则S△ADE∶S四边形BCED的值为(C)图27－2－44A．1∶3B.1∶2C.1∶3D.1∶48．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，若△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为__8__.【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC的周长∶△A′B′C′的周长＝3∶4，∵△ABC的周长为6，∴△A′B′C′的周长＝6×43＝8.9．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为__9∶1__．【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比是3∶1，∴△ABC与△DEF的面积之比为9∶1.图27－2－4510．如图27－2－45，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB，AC于D，E两点，若AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积比为__1∶9__．11．一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响，如图27－2－46是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线)．经测量：AB＝1.2米，BC＝1.6米．根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度(圆锥的高)．(π取3.14，结果精确到0.1米)图27－2－46第11题答图解：如图，取圆锥底面圆圆心O，连接OS，OA，则∠O＝∠ABC＝90°，OS∥BC，∴∠ACB＝∠ASO，∴△SOA∽△CBA，∴OSBC＝OAAB，即OS＝OA·BCAB.∵OA＝34.542π≈5.5，BC＝1.6，AB＝1.2，∴OS≈5.5×1.61.2≈7.3，∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米．12.已知△ABC∽△DEF，DEAB＝23，△ABC的周长是12cm，面积是30cm2.(1)求△DEF的周长；(2)求△DEF的面积．解：(1)∵DEAB＝23，∴△DEF的周长＝12×23＝8(cm)；(2)∵DEAB＝23，∴△DEF的面积＝30×(23)2＝1313(cm2)．13．如图27－2－47，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，AD＝1，BC＝4，则△AOD与△BOC的面积比等于(D)图27－2－47A.12B.14C.18D.11614．如图27－2－48，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．图27－2－48【解析】(1)证明EF为△ABD的中位线；(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．解：(1)证明：∵DC＝AC，∴△ACD为等腰三角形．∵CF平分∠ACD，∴F为AD的中点．∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BC.(2)由(1)得EF∥BC，∴△AEF∽△ABD.∵EFBD＝12，∴S△AEF∶S△ABD＝1∶4，∴S四边形BDFE∶S△ABD＝3∶4.∵S△ABD＝6，∴S四边形BDFE＝92.15．[2013·泰安]如图27－2－49，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．图27－2－49(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)求证：CE∥AD；(3)若AD＝4，AB＝6，求ACAF的值．解：(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB.∴ADAC＝ACAB.∴AC2＝AB·AD.(2)证明：∵E为AB的中点，∴CE＝12AB＝AE，∠EAC＝∠ECA.∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB.∴∠DAC＝∠ECA.∴CE∥AD.(3)∵CE∥AD，∴∠DAF＝∠ECF，∠ADF＝∠CEF，∴△AFD∽△CFE，∴ADCE＝AFCF.∵CE＝12AB，∴CE＝12×6＝3.又∵AD＝4，由ADCE＝AFCF得43＝AFCF，∴AFAC＝47.∴ACAF＝74.16.已知：如图27－2－50，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.图27－2－50证明：连接PC，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD是△ABC的对称轴．∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP.∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP(两直线平行，内错角相等)，∴∠PCE＝∠PFC.又∵∠CPE＝∠EPC，∴△EPC∽△CPF.∴PCPE＝PFPC(相似三角形的对应边成比例)．∴PC2＝PE·PF.∵PC＝BP，∴BP2＝PE·PF.17.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如有关线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：(1)若O是△ABC的重心(如图1)，连结AO并延长交BC于D，证明：AOAD＝23；(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2)，O是AD上一点，且满足AOAD＝23，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB，AC相交于G，H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3)，S四边形BCHG.S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究S四边形BCHGS△AGH的最大值．图27－2－51解：(1)证明：连接BO并延长交AC于点E，连接DE，则DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴△EDO≌△BAO，∴DOAO＝DEAB＝12，∴AOAD＝23.(2)是，证明：连接BO并延长交AC于点E，过点D作DF∥BE交AC于点F，则△AOE∽△ADF，∴AEAF＝AOAD＝23，∴AE＝2EF，又∵△CDF∽△CBE，∴CFCE＝CDCB＝12，∴EF＝FC，∴AE＝CE，即点E为AC中点，∴点O为△ABC的重心．(3)54.