初中数学【9年级下】九年级数学下册 28.1 锐角三角函数同步测试 （新版）新人教版 (58)

锐角三角函数28.1__锐角三角函数__第1课时正弦[见B本P78]1．如图28－1－1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是(C)图28－1－1A.34B.43C.35D.452．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值(A)A．不变B．缩小为原来的13C．扩大为原来的3倍D．不能确定3．如图28－1－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为(C)图28－1－2A.12B.22C.32D．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝35，则AB＝(A)A．15B．12C．9D．6【解析】AB＝ACsinB＝935＝15，选A.5．如图28－1－3所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(B)图28－1－3A.12B.55C.1010D.2556．如图28－1－4，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，则sinα的值是(D)图28－1－4A.25B.55C.35D.45【解析】OP＝32＋42＝5，∴sinα＝45.故选D.7．△ABC中，∠C＝90°，sinA＝25，则sinB＝__215__．【解析】由sinA＝25可得BCAB＝25，故可设BC＝2a，AB＝5a，由勾股定理求得AC＝21a，再由正弦定义求得sinB＝ACAB＝21a5a＝215.8.如图图28－1－5，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC＝7，AB＝4，则sinC的值为__25__．图28－1－59．Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝15，b＝8，求sinA＋sinB.解：由勾股定理有c＝a2＋b2＝152＋82＝17，于是sinA＝1517，sinB＝817，所以sinA＋sinB＝1517＋817＝2317.图28－1－610．如图28－1－6所示，△ABC中，∠C＝90°，sinA＝13，AC＝2，求AB，BC的长．解：∵sinA＝13，∴BCAB＝13，∴AB＝3BC.∵AC2＋BC2＝AB2，∴22＋BC2＝(3BC)2，∴BC＝22，∴AB＝322.11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝35，则斜边上的高等于(B)A.6425B.4825C.165D.12512．如图28－1－7，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE＝6cm，sinA＝35，则菱形ABCD的面积是__60__cm2.图28－1－7【解析】在Rt△ADE中，sinA＝DEAD，∴AD＝DEsinA＝635＝10(cm)，∴AB＝AD＝10cm，∴S菱形ABCD＝DE·AB＝6×10＝60(cm2)．13．如图28－1－8，⊙O的半径为3，弦AB的长为4，求sinA的值．图28－1－8第13题答图【解析】要求sinA的值，必将∠A放在直角三角形中，故过O作OC⊥AB于C，构造直角三角形，然后根据正弦的定义求解．解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示，则有AC＝BC.∵AB＝4，∴AC＝2.在Rt△AOC中，OC＝OA2－AC2＝32－22＝5，∴sinA＝OCOA＝53.14．如图28－1－9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝35，求DE.图28－1－9解：∵BC＝6，sinA＝35，∴AB＝10，∴AC＝102－62＝8，∵D是AB的中点，∴AD＝12AB＝5，∵△ADE∽△ACB，∴DEBC＝ADAC，即DE6＝58，解得：DE＝154.15．如图28－1－10，是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24m，OE⊥CD于点E，已测得sin∠DOE＝1213.(1)求半径OD；(2)根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？图28－1－10解：(1)∵OE⊥CD于点E，CD＝24m，∴ED＝12CD＝12m.在Rt△DOE中，sin∠DOE＝EDOD＝1213，∴OD＝13m.(2)OE＝OD2－ED2＝132－122＝5(m)，∴将水排干需5÷0.5＝10(小时)．16．如图28－1－11，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B，C两点除外)．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值．参考数据：sin60°＝32，cos30°＝32，tan30°＝33图28－1－11解：(1)过点O作OD⊥BC于点D，连接OC，OB.因为BC＝23，所以CD＝12BC＝3.又因为OC＝2，所以sin∠DOC＝CDOC＝32，所以∠DOC＝60°，所以∠BOC＝2∠DOC＝120°，所以∠BAC＝12∠BOC＝60°.(2)因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC的面积最大，即点A是BAC︵的中点时，△ABC的面积最大，此时AB︵＝AC︵，所以AB＝AC.又因为∠BAC＝60°，所以△ABC是等边三角形．连接AD，易证AD是△ABC的高．在Rt△ADC中，AC＝BC＝23，CD＝3，所以AD＝AC2－CD2＝（23）2－（3）2＝3，所以△ABC面积的最大值为12×23×3＝33.第2课时锐角三角函数[见A本P80]1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则∠A的余弦值是(C)A.35B.34C.45D.432.如图28－1－12，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是(B)图28－1－12A.23B.32C.21313D.313133．如图28－1－13是教学用直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝33，则边BC的长为(C)A．303cmB．203cmC．103cmD．53cm【解析】BC＝AC·tan∠BAC＝30×33＝103(cm)．图28－1－13图28－1－144．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝45，则AC∶BC∶AB＝(A)A．3∶4∶5B．5∶3∶4C．4∶3∶5D．3∶5∶4【解析】由cosB＝BCAB＝45，设BC＝4x，AB＝5x，则AC＝AB2－BC2＝（5x）2－（4x）2＝3x，∴AC∶BC∶AB＝3x∶4x∶5x＝3∶4∶5，故选A.5．如图28－1－14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为(A)A．4B．25C.181313D.121313【解析】∵cosB＝23，∴BCAB＝23.∵AB＝6，∴BC＝23×6＝4，故选A.6．如图28－1－15，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则tanα等于(C)图28－1－15A.513B.1213C.512D.1257．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，则sinB＝__35__，cosB＝__45__，sinA＝__45__，cosA＝__35__，tanA＝__43__，tanB＝__34__．【解析】AB＝BC2＋AC2＝82＋62＝10.sinB＝ACAB＝610＝35，cosB＝BCAB＝810＝45，sinA＝BCAB＝810＝45，cosA＝ACAB＝610＝35，tanA＝BCAC＝86＝43，tanB＝ACBC＝68＝34.8.[2013·杭州]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝32；②cosB＝12；③tanA＝33；④tanB＝3，其中正确的结论是__②③④__．(只需填上正确结论的序号)9.[2013·安顺]在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝43，BC＝8，则Rt△ABC的面积为__24__．10．(1)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝5，求sinA，cosA，tanA.(2)在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，求sinA，cosB，tanA.解：(1)由勾股定理，知AC＝AB2－BC2＝25－4＝21，∴sinA＝BCAB＝25，tanA＝BCAC＝221＝22121，cosA＝ACAB＝215.(2)设BC＝5k，CA＝12k，AB＝13k.∵BC2＋CA2＝25k2＋144k2＝169k2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°，∴sinA＝BCAB＝513，cosB＝BCAB＝513，tanA＝BCAC＝512.11．(1)若∠A为锐角，且sinA＝35，求cosA，tanA.(2)已知如图28－1－16，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝12，求∠B的正弦、余弦值．图28－1－16解：(1)设在△ABC中，∠C＝90°，∠A为已知锐角，∵sinA＝ac＝35，设a＝3k，c＝5k，∴b＝c2－a2＝（5k）2－（3k）2＝4k，∴cosA＝bc＝4k5k＝45，tanA＝ab＝3k4k＝34.(2)∵∠C＝90°，tanA＝BCAC＝12，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB＝AC2＋BC2＝5x，∴sinB＝ACAB＝2x5x＝255，cosB＝BCAB＝x5x＝55.12．如图28－1－17，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值是(C)A.45B.35C.34D.43图28－1－17图28－1－1813．如图28－1－18，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上一点(不与点A，B重合)，则cosC的值为__45__．【解析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，可得AD为⊙O直径，故∠ABD＝90°.∵⊙O的半径为5，弦AB＝6，∴BD＝AD2－AB2＝102－62＝8.∵∠D＝∠C，∴cosC＝cosD＝BDAD＝810＝45.14．如图28－1－19，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝8，AB＝10，求cos∠BCD的值．图28－1－19解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BCD＝90°，∠B＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A.∵AB＝10，AC＝8，∴cos∠BCD＝cosA＝ACAB＝810＝45.15．已知α为锐角，且tanα＝2，求sinα－22cosα＋sinα的值．【解析】根据锐角三角函数的定义，结合图形设参数即可求出各边的比，从而得出sinα、cosα的值进行计算．解：如图所示，作Rt△ABC，使∠C＝90°，设AC＝k，BC＝2k，则∠A＝α.∵AB＝AC2＋BC2＝k2＋（2k）2＝5k，∴sinα＝2k5k＝255，cosα＝k5k＝55，∴sinα－22cosα＋sinα＝255－2255＋255＝1－52.16．如图28－1－20，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cotα，即cotα＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)cot30°＝________；(2)如图，已知tanA＝34，其中∠A为锐角，试求cotA的值．图28－1－20解：(1)3(2)∵tanA＝BCAC＝34，∴cotA＝ACBC＝43.第3课时特殊角三角函数值[见B本P80]1.3tan30°的值等于(A)A.3B．33C.33D.322.计算6tan45°－2cos60°的结果是(D)A．43B．4C．53D．53．如图28－1－21，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为(C)A.12B.22C.32D．1【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sinA＝BCAB＝BC2BC＝12，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴sinB＝32.图28－1－21图28－1－224．如果在△ABC中，sinA＝cosB＝22，则下列最确切的结论是(C)A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【解析】∵sinA＝cosB＝22，∴∠A