初中数学【9年级下】模型构建专题：相似三角形中的基本模型

第1页共5页模型构建专题：相似三角形中的基本模型——熟知需要用相似来解决的图形◆模型一“A”字型1．(2017·湘潭中考)如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为________．第1题图第2题图2．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：____________，使△ABC∽△AED.3．如图，在△ABC中，DE∥BC，ADAB＝23，M为BC上一点，AM交DE于N.(1)若AE＝4，求EC的长；(2)若M为BC的中点，S△ABC＝36，求S△ADN的值．◆模型二“X”字型4．(2016·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是()A.ADAB＝AEACB.DFFC＝AEECC.ADDB＝DEBCD.DFBF＝EFFC第4题图第5题图第6题图5．(2016·贵港中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC·BC；③OE∶AC＝3∶6；④S△OCF＝2S△OEF，其中成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝________．第2页共5页7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.(1)若FD＝2，EDBC＝13，求线段DC的长；(2)求证：EF·GB＝BF·GE.◆模型三旋转型8．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是()A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC.ABAD＝ACAED.ABAD＝BCDE第8题图第9题图第10题图9．★如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝__________．◆模型四“子母”型(大三角形中包含小三角形)10．(2016·毕节中考)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝22，AB＝3，则BD＝________．11．(2016·云南中考)如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为()A．15B．10C.152D．5第11题图第12题图◆模型五垂直型12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()第3页共5页A．1对B．2对C．3对D．4对13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边上的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的长是()A.15B．215C.17D．217第13题图第14题图14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝34x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当AD＝BD，AC＝3时，求BF的长．◆模型六一线三等角型16．(2017·潮阳区模拟)如图，在边长为9的等边△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则CE的长为________．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．第4页共5页参考答案与解析1．1∶42．∠ADE＝∠C(答案不唯一)3．解：(1)∵DE∥BC，∴AEAC＝ADAB＝23.∵AE＝4，∴AC＝6，∴EC＝6－4＝2.(2)∵M为BC的中点，∴S△ABM＝12S△ABC＝18.∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，∴S△ADNS△ABM＝ADAB2＝49，∴S△ADN＝8.4．A5．D解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°.∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE＝60°，∴△CBE是等边三角形，∴BE＝BC＝CE，∠CEB＝60°.∵AB＝2BC，∴AE＝BE＝BC＝CE，∴∠CAE＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAE－∠ABC＝90°.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S▱ABCD＝AC·BC，故②正确；在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AB＝2BC，∴AC＝3BC.∵AO＝OC，AE＝BE，∴OE∥BC，∴OE＝12BC，∴OE∶AC＝12BC∶3BC＝3∶6，故③正确；∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴CFEF＝BCOE＝2，∴S△OCF∶S△OEF＝CFEF＝2，∴S△OCF＝2S△OEF，故④正确．故选D.6．4.5解析：∵AB∥EF，∴FOAF＝EOEB，则FOEO＝AFEB.又∵EF∥CD，∴FOFD＝EOEC，则FOEO＝FDEC，∴AFEB＝FDEC，即AF4＝1.52，解得AF＝3，∴AD＝AF＋FD＝3＋1.5＝4.5.7．(1)解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴FDFC＝EDBC＝13，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4.(2)证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴EFBF＝DEBC，AEBC＝GEGB.∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，∴EFBF＝GEGB，∴EF·GB＝BF·GE.8．D9．1或116解析：∵△ABC≌△DEF，AB＝AC，∴∠AEF＝∠B＝∠C.∵∠AEC＝∠AEF＋∠MEC＝∠B＋∠BAE，∴∠MEC＝∠EAB.∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM.当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA.又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴CEAC＝ACCB，∴CE＝AC2CB＝256，∴BE＝6－256＝116，∴BE＝1或116.第5页共5页10.8311．D解析：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA.∵AB＝4，AD＝2，∴S△ACD∶S△ABC＝(AD∶AB)2＝1∶4，∴S△ACD∶S△ABD＝1∶3.∵S△ABD＝15，∴S△ACD＝5.故选D.12．C13.A14.285解析：根据“垂线段最短”，得PM的最小值就是当PM⊥AB时PM的长．∵直线y＝34x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝－3，∴点B的坐标为(0，－3)，即OB＝3.令y＝0，得x＝4，∴点A的坐标为(4，0),即OA＝4，∴PB＝OP＋OB＝4＋3＝7.在Rt△AOB中，根据勾股定理得AB＝OA2＋OB2＝42＋32＝5.在Rt△PMB与Rt△AOB中，∵∠PBM＝∠ABO，∠PMB＝∠AOB，∴Rt△PMB∽Rt△AOB，∴PMOA＝PBAB，即PM4＝75，解得PM＝285.15．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD.(2)解：∵AD＝BD，△ACD∽△BFD，∴ACBF＝ADBD＝1，∴BF＝AC＝3.16．217．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BPCD＝ABCP，∴AB·CD＝CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.(2)解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BABC＝BPBA.∵AB＝10，BC＝12，∴1012＝BP10，∴BP＝253.