初中数学【9年级下】难点探究专题：相似与特殊几何图形的综合问题(选做)

第1页共7页难点探究专题：相似与特殊几何图形的综合问题(选做)——突破相似中的综合问题及含动点的解题思路◆类型一相似与特殊三角形1．一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0，1)，直角顶点C的坐标为(－3，0)，∠B＝30°，则点B的坐标为______________．第1题图第2题图2．(2016·黄冈中考)如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝________．3．(2016·福州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－12，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；(2)求∠ABD的度数．◆类型二相似与特殊四边形4．(2016·东营中考)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC.其中正确的结论有()A．3个B．2个C．1个D．0个第4题图第5题图第6题图5．如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB＝AC＝3cm，BC＝2cm.将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1.如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为________cm.6．(2016·滨州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在对角线BD上，第2页共7页且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则CFCD＝________．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF＝FD.连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H.(1)求EG∶BG的值；(2)求证：AG＝OG；(3)设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a∶b∶c的值．◆类型三运用相似解决几何图形中的动点问题8．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝14CD，若AB＝4，设BM＝x，当x＝________时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．第8题图第9题图9．(2016·宜春模拟)如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝________．10．(2016·梅州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．第3页共7页11．(2016·赤峰中考)如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接AP并过Q作QE⊥AP垂足为E.(1)求证：△ABP∽△QEA；(2)当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA?(3)设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y(不要求考虑t的取值范围)．[提示：解答(2)(3)时可不分先后]◆类型四相似中的探究型问题12．(2016·宁波中考)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；(3)如图②，△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．第4页共7页参考答案与解析1．(－3－3，33)解析：如图，过点B作BE⊥x轴于点E.易证△EBC∽△OCA，∴EBOC＝BCCA＝ECOA.∵点A的坐标为(0，1)，点C的坐标为(－3，0)，∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝OA2＋OC2＝10.在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝210，∴BC＝AB2－AC2＝30，∴BCAC＝3.∴BE＝33，EC＝3，∴EO＝EC＋CO＝3＋3，∴点B的坐标为(－3－3，33)．2.43解析：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，∴HI＝AB＝2，GI＝BC＝1，BI＝4BC＝4，∴ABBI＝24＝12，BCAB＝12，∴ABBI＝BCAB.又∵∠ABI＝∠ABC，∴△ABI∽△CBA，∴ACAI＝ABBI.∵AB＝AC，∴AI＝BI＝4.∵∠ACB＝∠FGE，∴AC∥FG，∴QIAI＝GICI＝13，∴QI＝13AI＝43.3．解：(1)∵AB＝AC＝1，BC＝5－12，∴AD＝5－12，DC＝1－5－12＝3－52.∴AD2＝5＋1－254＝3－52，AC·CD＝1×3－52＝3－52.∴AD2＝AC·CD；(2)∵AD＝BC，AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即BCAC＝CDBC.又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ABC.∴ABAC＝BDCB＝1，∠DBC＝∠A.∴DB＝CB＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC.设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.4．A解析：过D作DM∥BE交AC于N.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC.∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFCF.∵AE＝12AD＝12BC，∴12＝AFCF，∴CF＝2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝12BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF.∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确．第5页共7页5．7解析：作AE⊥BC于E，∴∠AEB＝∠AEC1＝90°，∴∠BAE＋∠ABC＝90°.∵AB＝AC，BC＝2，∴BE＝CE＝12BC＝1.∵四边形ABD1C1是矩形，∴∠BAC1＝90°，∴∠ABC＋∠AC1B＝90°，∴∠BAE＝∠AC1B，∴△ABE∽△C1BA，∴BEAB＝ABBC1.∵AB＝3cm，BE＝1cm，∴13＝3BC1，∴BC1＝9cm，∴CC1＝BC1－BC＝9－2＝7(cm)，即平移的距离为7cm.6.13解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.∵AB＝3，BC＝6，∴BD＝AB2＋AD2＝3.∵BE＝1.8，∴DE＝3－1.8＝1.2.∵AB∥CD，∴DFAB＝DEBE，即DF3＝1.21.8，解得DF＝233，则CF＝CD－DF＝33，∴CFCD＝333＝13.7．(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴EGGB＝AGGC＝AEBC.∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，∴GC＝3AG，GB＝3EG，∴EG∶BG＝1∶3；(2)证明：∵GC＝3AG(已证)，∴AC＝4AG，∴AO＝12AC＝2AG，∴GO＝AO－AG＝AG；(3)解：∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，AF＝2AE.∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴AHHC＝AFBC＝2AE3AE＝23，∴AHAC＝25，即AH＝25AC.∵AC＝4AG，∴a＝AG＝14AC，b＝AH－AG＝25AC－14AC＝320AC，c＝AO－AH＝12AC－25AC＝110AC，∴a∶b∶c＝14∶320∶110＝5∶3∶2.8．2或165解析：∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.∵BM＝x，∴CM＝4－x.∵CN＝14CD，∴CN＝1.当△ABM∽△MCN时，ABCM＝BMCN，即44－x＝x1，解得x＝2；当△ABM∽△NCM时，ABCN＝BMCM，即41＝x4－x，解得x＝165.综上所述，当x＝2或165时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．9．1或116解析：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA.又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴CEAC＝ACCB，∴CE＝AC2CB＝256，∴BE＝6－256＝116，∴BE＝1或116.10．解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝53.由题意知：BM＝2t，CN＝3t，∴BN＝53－3t.∵BM＝BN，∴2t＝53－3t，解得t＝532＋3＝103－15；第6页共7页(2)分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则MBAB＝BNBC，即2t10＝53－3t53，解得t＝52；②当△NBM∽△ABC时，则NBAB＝BMBC，即53－3t10＝2t53，解得t＝157.综上所述，当t＝52或t＝157时，△MBN与△ABC相似；(3)过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴MDAC＝BMAB，即MD5＝2t10，解得MD＝t.设四边形ACNM的面积为y，∴y＝12×5×53－12(53－3t)·t＝32t2－532t＋2532＝32t－522＋7583.∴根据二次函数的性质可知，当t＝52时，y的值最小．此时，y最小＝7583.11．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAP＋∠QAE＝∠B＝90°.∵QE⊥AP，∴∠QAE＋∠EQA＝∠AEQ＝90°，∴∠BAP＝∠EQA，∠B＝∠AEQ，∴△ABP∽△QEA；(2)解：∵△ABP≌△QEA，∴AP＝AQ.在Rt△ABP与Rt△QEA中，根据勾股定理得AP2＝32＋t2，AQ2＝(2t)2，即32＋t2＝(2t)2，解得t1＝3，t2＝－3(不符合题意，合去)．即当t＝3时△ABP≌△QEA；(3)解：由(1)知△ABP∽△QEA，∴yS△ABP＝AQAP2，∴y12×3t＝2t32＋t22，整理得y＝6t39＋t2.12．解：(1)如图①中，∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形．∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线；(2)①当AD＝CD时，如图②，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°；②当AD＝AC时，如图③，∠ACD＝∠ADC＝180°－48°2＝66°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°；③当AC＝CD时，如图④中，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°.∵∠ADC∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB＝96°或114°；(3)由已知AC＝AD＝2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA＝BDBC，设BD＝x，∴(2)2＝x