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第二十八章综合能力检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2015·大庆)sin60°等于(D)A.12B.22C．1D.322．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列等式中正确的是(D)A．cosA＝acB．sinB＝cbC．tanB＝abD．以上都不正确3．(2015·南通)如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是(C)A.55B.5C.12D．2第3题图第6题图第7题图4．下列等式成立的是(C)A．sin45°＋cos45°＝1B．2tan30°＝tan60°C．2sin30°＝tan45°D．sin45°cos45°＝tan45°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，a＋b＝46，则c等于(A)A．43B．4C．26D．426．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(D)A．26米B．28米C．30米D．46米7．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝23，则AC的长是(A)A.3B．22C．3D.3228．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于点D.已知cos∠ACD＝35，BC＝4，则AC的长为(D)A．1B.203C．3D.163第8题图第9题图第10题图9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB边上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连接FB，则tan∠CFB的值等于(C)A.33B.233C.533D．5310．如图，学校大门出口处有一自动感应栏杆，点A是栏杆转动的支点，当车辆经过时，栏杆AE会自动升起，某天早上，栏杆发生故障，在某个位置突然卡住，这时测得栏杆升起的角度∠BAE＝127°，已知AB⊥BC，支架AB高1.2米，大门BC打开的宽度为2米，以下哪辆车可以通过？(C)(栏杆宽度，汽车反光交镜忽略不计)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，车辆尺寸：长×宽×高)A．宝马Z4(4200mm×1800mm×1360mm)B．奇瑞QQ(4000mm×1600mm×1520mm)C．大众朗逸(4600mm×1700mm×1400mm)D．奥迪A4(4700mm×1800mm×1400mm)二、填空题(每小题3分，共24分)11．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝12，则∠C的度数是__75°__．12．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是__492__cm2.第12题图第14题图第15题图13．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝513，则tanB的值为__125__．14．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cosE＝__12__．15．如图，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则sin∠AFG的值__32__．16．(2015·德州)如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度均为__7.2__m．(结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)第16题图第17题图17．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20(3＋1)海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西65°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为__2__海里/分．18．已知：在△ABC中，AC＝1，AB与BC所在直线所成的角中锐角为45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为255(即cosC＝255)，则BC边的长是__355或55___．解：点拨：分两种情况：作AD⊥BC，垂足为点D.①在△ABC的内部，∠ABD＝45°；②在△ABC外∠ABD＝45°.这两种情况，解直角△ACD与直角△ABD，得到BC的长．三、解答题(共66分)19．(6分)已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，计算8－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋13－1的值．解：∵sin(α＋15°)＝32，∴α＝45°，∴原式＝22－4×22－1＋1＋3＝3.20．(8分)在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知：c＝83，∠A＝60°，求∠B及a，b的值；(2)已知：a＝36，c＝63，求∠A，∠B及b的值．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝43；(2)∠A＝∠B＝45°，b＝36.21．(9分)(2015·长春)如图，海面上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方向．一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°.求A，B两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里)(参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93)解：由题意，得AC＝18×2＝36(海里)，∠ACB＝43°.在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB＝AC•tan∠ACB＝36×0.93≈33.5(海里)．故A，B两岛之间的距离约为33.5海里．22．(9分)(2014·重庆)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝32，求sinB＋cosB的值．解：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴tanA＝CDAD＝6AD＝32，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝12－4＝8.在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，∴BC＝BD2＋CD2＝10，∴sinB＝CDBC＝35，cosB＝BDBC＝45，∴sinB＋cosB＝35＋45＝75.23．(10分)一副三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．解：过点B作BM⊥DF于点M.∵∠BCA＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝122.∵AB∥CF，∴∠BCM＝45°.在Rt△BCM中，BM＝BC·sin45°＝12.在Rt△BCM中，∵∠BCM＝45°，∴∠MBC＝45°，∴CM＝BM＝12.在Rt△BMD中，∠BDM＝60°，∴DM＝BMtan60°＝43，∴CD＝CM－DM＝12－43.24．(11分)(2015·上海)如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米)(参考数据：3≈1.7)解：(1)连接PA.由题意知，AP＝39m．在Rt△APH中，PH＝AP2－AH2＝392－152＝36(米)；(2)由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH＝AHtan30°＝153(米)．在Rt△CDQ中，DQ＝CQsin30°＝3912＝78(米)．则PQ＝PH＋HQ＝PH＋DQ－DH＝36＋78－153≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)．故高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．25．(13分)如图，某小学门口有一直线马路，交警在门口设有一条宽度为4米的斑马线，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE＝15°和∠FAD＝30°，司机距车头的水平距离为0.8米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？(E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上)(参考数据：tan15°＝2－3，3≈1.732，2≈1.414)解：∵∠FAE＝15°，∠FAD＝30°，∴∠EAD＝15°.∵AF∥BE，∴∠AED＝∠FAE＝15°，∠ADB＝∠FAD＝30°.设AB＝x，则在Rt△AEB中，EB＝ABtan15°＝xtan15°.∵ED＝4，ED＋BD＝EB，∴BD＝xtan15°－4.在Rt△ADB中，BD＝ABtan30°＝xtan30°，∴xtan15°－4＝xtan30°，即(12－3－133)x＝4，解得x＝2，∴BD＝2tan30°＝23.∵BD＝CD＋BC＝CD＋0.8，∴CD＝23－0.8≈2×1.732－0.8≈2.7＞2，故符合标准．故该旅游车停车符合规定的安全标准．