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第二十七章综合能力检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知△ABC∽△A′B′C′，且BC∶B′C′＝AC∶A′C′，若AC＝3，A′C′＝1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比是(D)A．2∶3B．3∶2C．5∶3D．3∶52．(2015·眉山)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2这与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为(C)A．4B．5C．6D．8第2题图第3题图第5题图第6题图3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各顶点坐标分别为A(1，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，1)，四边形BFGH的各顶点坐标分别为F(4，0)，G(4，4)，H(0，2)，则下列说法正确的是(D)A．四边形ABCD与四边形BFGH相似但不位似B．四边形ABCD与四边形BFGH位似但不相似C．四边形ABCD与四边形BFGH位似，且相似比为1∶2D．四边形ABCD与四边形BFGH位似，且相似比为1∶24．下列说法正确的是(C)A．所有的菱形形状都相同B．所有的矩形形状都相同C．所有的正方形形状都相同D．所有的梯形形状都相同5．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边的中点，P是BC边上的一动点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是(A)A．BP＝PCB．AB·PC＝EC·BPC．∠APB＝∠EPCD．BP＝2PC6．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于(D)A．1∶4B．1∶3C．2∶3D．1∶27．如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E，F分别为边AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD与矩形ABCD相似，则a∶b等于(A)A.2∶1B．1∶2C.3∶1D．1∶3第7题图第8题图第9题图第10题图8．(2015·潍坊)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M，N；第二步，连接MN分别交AB，AC于点E，F；第三步，连接DE，DF.若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是(D)A．2B．4C．6D．89．(2015·常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA∶O1A1＝k(k为不等于0的常数)．那么下面四个结论：①∠AOB＝∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③ABA1B1＝k；④扇形AOB与扇形A1O1B1的面积之比为k2.其中成立的个数为(D)A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝42，则△EFC的周长为(D)A．11B．10C．9D．8二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图是百度地图的一部分(比例尺1∶4000000)．若测量杭州到嘉兴的图上距离是4cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为__160__km.第11题图第12题图第14题图12．如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积的比是__1∶4__．13．(2015·梅州)已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是__AF＝12AC(答案不唯一)__．(写出一个即可)14．(2015·天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是__8__米．15．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，若它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是__(－4，－3)__．第15题图第16题图第17题图16．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AODO＝__12__．17．如图，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若AB＝2，则此三角形移动的距离AA′是__2－1__．18．(2015·湖州)已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示)，以此类推….若A1C1＝2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是__3827__．解：点拨：延长D4A和C1B交于点O，根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形的边长，从而得出规律，即可求得正方形A9C9C10D10的边长．三、解答题(共66分)19．(6分)如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝5，AC＝5，求AE的长．解：∵DE∥BC，∴ADBD＝AEEC，即25＝AE5－AE，解得AE＝107.20．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)．(1)以原点O为位似中心，相似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；(2)若点D(a，b)在线段AB上，请直接写出经过(1)的变化后点D的对应点D1的坐标．解：(1)图略，C1(－6，4)；(2)D1(2a，2b)．21．(9分)(2015·南京)如图，△ABC中，CD是AB边上的高，且ADCD＝CDBD.(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的大小．解：(1)∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.又∵ADCD＝CDBD，∴△ACD∽△CBD；(2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD.在△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.22．(9分)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？解：由题意，得∠BAD＝∠BCE.∵AB⊥BD，∴∠ABD＝∠CBE＝90°，∴△BAD∽△BCE，∴BDBE＝ABCB，∴BD9.6＝1.71.2，解得BD＝13.6.故河宽BD是13.6米．23．(10分)如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1__＝__S2＋S3；(用“＞”“＝”或“＜”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．解：△BCD∽△CFB，△BCD∽△DEC，△CFB∽△DEC.证明△BCD∽△DEC，∵∠EDC＋∠BDC＝90°，∠CBD＋∠BDC＝90°，∴∠EDC＝∠CBD.又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，∴△BCD∽△DEC.24．(11分)如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC边上一点，试问BP为何值时，以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似？解：分两种情况：①当ABBP＝DCCP时，△ABP∽△DCP.设BP＝x，则CP＝14－x.∴4x＝614－x，解得x＝5.6.即当BP＝5.6时，△ABP∽△DCP.②当ABBP＝PCCD时，△ABP∽△PCD.设BP＝x，则CP＝14－x.∴4x＝14－x6，解得x1＝2，x2＝12.综上所述，当BP＝5.6或BP＝2或BP＝12时，以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似．25．(13分)(1)如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：DPBQ＝PEQC；(2)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2＝DM·EN.解：(1)在△ABQ中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ＝APAQ.同理，在△ACQ中，EPCQ＝APAQ.∴DPBQ＝EPCQ；(2)MN＝29；(3)∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°，∴∠B＝∠CEF.又∵∠BGD＝∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴DGCF＝BGEF，∴DG·EF＝CF·BG.又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG.由(1)得，DMBG＝MNGF＝ENCF，∴(MNGF)2＝DMBG·ENCF，∴MN2＝DM·EN.