初中数学【9年级下】27.2相似三角形2

相似三角形的判定（1）复习回顾1、相似多边形的主要特征是什么？2、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，'''',',',,'''''''''ABCABCABBCCAAABBCCkABBCCAABCABC在和中，如果且我们就说，和相似，'''ABCABC记作'''',',',''''''ABCABCABBCCAAABBCCABBCCA反之，如果，则有且。3、对于2中，如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？探究猜想如图，任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3l4l5.分别量度l3l4l5在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?探究1:学生分组汇报探究的结论：汇总归纳所得结论，如下：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。平行线分线段成比例定理：探究2：把平行线分线段成比例定理应用到三角形中，会出现下面的图中的两种情况，如上图所示，如图（1）中，l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，l4看成平行于△ABC的边BC的直线；如图（2）中，l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，l3看成平行于△ABC的边BC的直线。平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段的比相等。例：如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.:,3//,,,34993,,3.444ADAEADDEBCABACADBDABAD解根据平行线分线段成比例定理的推论因为所以即解得例：如图，EF∥BC，FD∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，则BD=____________。//,;//,,18,,1412181421.12AEAFEFBCBEFCAFBDDFABFCDCBDAEBDDCBEBD解：因为所以因为所以所以即所以//,:1:4,2,BCDABCABCDEBCSSACEC例：如图，在中，若求的长度。ABCDE,::1:4,1//,,,421.2BCDABCBCDABCDBABCABSSDBABDBECECDEBCABACEC解：和中的底分别为、它们的高都是点到的距离，所以因为所以即所以，归纳总结1、“三角形相似的预备定理”。这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似。2、相似比是带有顺序性和对应性的。布置作业补充：1、在ABC中，DE∥BC，DE与AB相交于D，与AC相交于E。（1）已知AD=5,DB=3,AE=4，求EC的长。（2）已知AC=12,EC=4,DB=5求AD的长。（3）已知AD:BD=3:2,AC=10，求AE的长。2、如图，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长。BOEFACD相似三角形的判断（2）新课导入//,,,,ABCDEBCDEABACDEADEABC思考：如图，在中，分别交于点与有什么关系？ADEABCADEABC直觉告诉我们，和形状是相同的，即和相似。思考：如何证明呢？如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，证明：△ADE与△ABC相似。如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，证明：△ADE与△ABC相似。,//,,.ADEABCAADEBCADEBAEDC分析：先证明两个三角形的对应角相等。在与中，再证明两个三角形的对应比相等。//,.//,//,,,EEFABEFBCFDEBCEFABADAEBFAEABACBCAC过点作交于点,,.DEFBDEBFDEAEBCACADAEDEABACBC四边形是平行四边形，,ADEABCADEABC证明了的对应角相等，对应边的比相等，所以。判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边所在直线相交，所成的三角形与原来三角形相似。3例：如图，AB∥EF∥CD，图中共有对相似三角形，写出来并说明理由。//;//;//.ABEFAOBFOEEFCDFOEDOCABCDAOBDOC分析：　　　　　　例：如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h。(设网球是直线运动)解：图中的两个竖线都是垂直于水平线的，即互相平行，所以，图中的两个直角三角形是相似的，则对应边的比相等，15,2.40.85hh所以，米。图中有几个相似三角形？,//,23,8,BDCEADEBCBCEDACAE例：如图，与相交于点已知求的长。ADBEC//,2168.33DEBCDACBACAEDEACBCDEAEACBC解：,,12BECFABCGGEGFGBGC例：如图，是的中线，交于点求证：。GABCEF,,1,//,,21.2EFEFACABEFABCEFBCEFBCEGFBGCEFGFGEBCGCGB证明：连接为的中点，为的中位线即且重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍。6.BC巩固练习1、如图，在△ABC中，DE∥BC，AE=2，EC=3，DE=4，求BC的长。EBCAD2、如图：BD∥AC，CE=3，CD=5，AC=5，求BD的长。BEACD10.3BD课堂小结谈谈本节课你有哪些收获。相似三角形的判断（3）复习回顾回答：不需要，如SSSSASASAAAS。（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。复习提问：(1)两个三角形全等有哪些判定方法？是否要判断所有对应角相等且所有对应边相等？(2)我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3)相似三角形与全等三角形有怎样的关系？相似比k=1时，两个相似三角形全等提出探讨问题：1、如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？探究：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。同学分成几组，每组选定不同的K的值，探究后再统一汇总。''','''''''''ABCABCABBCACABBCACABCABC如图，在和中，求证：。''()',//'','','''','','''''',',''''''ABADABDDEBCACEADEABCADDEAEABBCACABBCACADABABBCAC证明：在线段或它的延长线上上截取过点作交于点根据前面的定理可得，又','''''..','''.AEACACACAEACDEBCADEABCABCABC同理，三角形相似的判定方法1:如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．提出探讨问题：可否用类似于判定三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？三角形相似的判定方法2：两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。,''''''''ABACkAAABACABCABC　　　　　　'''ABCABC例：根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)120,7,14,'120,''3,''6;AABcmACcmAABcmACcm77(1),,''3''3.''''','''.ABACABACABACABACAAABCABC解：又思考：（1）中两个三角形相似比是少？相似比为7/3或3/7(2)4,6,8;''12,18,21.ABcmBCcmACcmABcmBCcmACcm41(2),''123618,,''183''21.'''''''''ABABBCACBCACABBCACABBCACABCABC与的三组对应边的比不等，它们不相似。（2）中，要使两三角形相似，不改变AC的长，A’C’的长应改为多少？AC的长度为24练习：教材P451、2、3．:1(1)(2)答案、相似；相似。:2(1)(2)答案、相似；不相似。45:32,2.5,3;1.6,2,2.4;,,2.33答案、,1,1.5,3,2.ABCDACBDOOAOBOCODOADOBC例：如图所示，四边形的对角线和交于点其中，求证：。ODCBA121,232,,OAODOBOCOAODAODBOCOBOCAODBOC证明：又。思考:上图中是否还有相似三角形?OABODC答：。回答：一定相似。思考:两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似?为什么?思考：等腰三角形ABC与等腰三角形DEF有一角相等,这两个三角形是否相似?为什么?回答：不一定。如果是一个三角形的顶角和另一个三角形的底角都是30，它们是不相似的。如果改成两个等腰三角形顶角(或底角)相等，则它们是相似的。2,DABCABACADABACDABC例：如图所示，点是中上一点，且求证：。DCBA2,,,ACADABACABADACCADBACACDABC证明：由得又。B练习：1、一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形（）相似。(A)一定(B)一定不(C)可能(D)无法判断2,ABCAEDB、如图，在中，若则下列比例式正确的是　　　　　　　　　　　　　　()()ADAEABDEC()ADACBAEAB()DEAECBCBD()ACADDABEDC三角形相似的判定方法1:如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．三角形相似的判定方法2：两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。归纳小结：布置作业2,.:;(2)40,ABCABACDCBEBCABDBCEADBEACBACDAE补充：如图所示，在中，点是延长线上一点，点是延长线上一点，且满足(1)求证若求的度数。CBDEA相似三角形的判断(4)复习回顾我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边所在直线相交，所成的三角形与原来三角形相似。三角形相似的判定方法1:如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．三角形相似的判定方法2:两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。如下图，两个三角形中有两个角对应相等，这两个三角形相似吗？直观上看这两个三角形是相似的，如何证明呢？把小的三角形平移到大的三角形上，使得A与A’重合且角所在的边是重合的，又∠B与∠B’相等，所以BC平移后所在的直线与直线B’C’平行，根据判定三角形相似的（预备）定理可知，这两个三角形是相似的。三角形相似的判定方法3:如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．,ABCDOPPAPBPCCD例：如图，弦和相交于内一点求证：。分析：要证PA•PB=PC•PD，需要证，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似。PBPCPDPA,...,.ACDBADCBADCB