初中数学【9年级下】【推荐】28.2 解直角三角形及其应用-同步练习（2）B

28.2解直角三角形及其应用（二）一、课前预习(5分钟训练)1.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为()A.3B.4C.5D.62.如图28－2－2－1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=53，则BD的长是()A.4B.3C.2D.1图28－2－2－1图28－2－2－２3.如图28－2－2－２，在离地面高度5m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）二、课中强化(10分钟训练)1.等腰三角形的两条边长分别是4cm、9cm，则等腰三角形的底角的余弦值是()A.94B.45.4C.92D.932.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点A的方向为___________.3.如图28－2－2－3，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC长及tanC.图28－2－2－34.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图28－2－2－４5.如图28－2－2－５，在比水面高2m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）[来源:学§科§网Z§X§X§K]图28－2－2－５[来源:Zxxk.Com]三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为()A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα)图28－2－2－6图28－2－2－72.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）3.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长.（精确到1m，3≈1.732）图28－2－2－84.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.图28－2－2－95.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.41421，3=1.73205）图28－2－2－106.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图28－2－2－117.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图28－2－2－128.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图28－2－2－13参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为()A.3B.4C.5D.6解析：AC=BC·tanB=6.答案：D2.如图28－2－2－1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=53，则BD的长是()图28－2－2－1A.4B.3C.2D.1解析：求BD需求BC,而BC=AD,在Rt△ADC中,已知一角一边,可求出AD.在Rt△ADC中，CD=3，且cos∠ADC=53，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2.答案：C3.如图28－2－2－２，在离地面高度5m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）图28－2－2－２解析：在Rt△ABD中,∠A=60°，CD=5，∴AC=331060sinCD,AD=33560tanCD.答案:3310335二、课中强化(10分钟训练)[来源:Zxxk.Com]1.等腰三角形的两条边长分别是4cm、9cm，则等腰三角形的底角的余弦值是()A.94B.45.4C.92D.93解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，∴其底角的余弦值为92.答案：C2.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点A的方向为___________.解析：搞清观察方向，可以借助示意图来解决.答案:南偏西15°或西偏南75°3.如图28－2－2－3，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC长及tanC.图28－2－2－3分析：作BC边上的高AD，构造直角三角形.在Rt△ADB中已知一角一边，可求得AD、BD，在Rt△ADC中由勾股定理求出CD.解：过点A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中，∠B＝45°，∵sinB=ABAD,∴AD=AB·sinB=4·sin45°=4×22=22,∴BD=22.在Rt△ADC中，AC=6,由勾股定理得DC=72)22(62222ADAC,∴BC=BD+DC=7222,tanC=7147222DCAD.4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图28－2－2－４解：设EF为x米，在Rt△AEF中,∠AFE=60°，∴AE=EF·tan60°=3x，在Rt△AGE中,∠AGE=45°，∴AE=GE·tan45°=GE=8+x.∴3x=8+x.解之,得x=4+43.∴AE=12+43≈18.8.∴AB=20.4(米).答:旗杆AB高20.4米.5.如图28－2－2－５，在比水面高2m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图28－2－2－５解Rt△AEB与Rt△AEB′,得AE与BE、EB′的关系，解关于x的方程可求得答案.解：设树高BC=x(m)，过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，BE=x－2,∠BAE=30°,cot∠BAE=BEAE,∴AE=BE·cot∠BAE=(x－2)·3=3(x－2).∵∠B′AE=45°,AE⊥BC.∴B′E=AE=3(x－2).又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2,∴3(x－2)=x+2.∴x=(4+23)(m).答：树高BC为(4+23)m.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为()图28－2－2－6A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα)解析:过D点作AB的垂线交AB于E点，在Rt△ADE中,∠ADE=α,DE=a,∴AE=a·tanα.在Rt△ABC中,∠ACB=β,BC=a,∴AB=a·tanβ.∴CD=AB－AE=a·tanβ－a·tanα.答案:D2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）[来源:学科网]图28－2－2－7解析:AB=BC·tanC=12(米).答案:123.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长.（精确到1m，3≈1.732）图28－2－2－8解：延长AD，交BC的延长线于点E，在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=200m，∴BE=AB·tanA=3200(m).AE=2120060cosAB=400(m).在Rt△CDE中，∠CED=30°，CD=100m，∴DE=CD·cot∠CED=3100(m),CE=21100sinCEDCD=200m.∴AD=AE－DE=400－3100≈227(m),BC=BE－CE=3200－200≈146(m).4.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.图28－2－2－9解：作三角形的高AD.在Rt△ACD中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=2.在Rt△ABD中,∠B=30°,AD=2，∴BD=630tanAD，AB=2230sinAD.∴CB=BD+CD=2+6.5.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.41421，3=1.73205）图28－2－2－10解：在Rt△ABD中,BD=80米，∠BDA=60°，∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）.Rt△AEC中,EC=BD=80,∠ACE=45°，∴AE=CE=80(米).∴CD=AB－AE≈58.56（米）.答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图28－2－2－11解:继续向东行驶,有触礁的危险.过点C作CD垂直AB的延长线于D,∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°.设CD的长为x,则tan∠CBD=BDxBDCD,∴BD=33x.∴tan∠CAB=tan30°=xxADCD33633.∴x=33.∴x≈5.26.∴继续向东行驶,有触礁的危险.7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.[来源:学科网]（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图28－2－2－12解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC=AB·sin44°=5sin44°≈3.473.在Rt△ACD中，AD=32sin473.332sinAC≈6.554.∴AD－AB=6.554－5≈1.55.即改善后的台阶会加长1.55米,（2）如图，在Rt△ABC中，BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597.在Rt